Penyelesaian dari pertidaksamaan (|1-2 x|)/(akar(x^(2)+4

x >= akar(5)-2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $(|1-2x|)/\sqrt{x^2+4x+4} \le x$, kita perlu memperhatikan beberapa hal:

1.  **Sederhanakan penyebut:** Penyebutnya adalah $\sqrt{x^2+4x+4}$, yang merupakan bentuk kuadrat sempurna. $x^2+4x+4 = (x+2)^2$. Jadi, $\sqrt{x^2+4x+4} = \sqrt{(x+2)^2} = |x+2|$.
    Pertidaksamaan menjadi: $|1-2x|/|x+2| \le x$.

2.  **Syarat penyebut tidak nol:** $|x+2| \ne 0$, yang berarti $x+2 \ne 0$, sehingga $x \ne -2$.

3.  **Gunakan sifat nilai mutlak:** $|a|/|b| = |a/b|$.
    Jadi, $|(1-2x)/(x+2)| \le x$.

4.  **Sifat $|y| \le x$ ekuivalen dengan $-x \le y \le x$ (dengan syarat $x \ge 0$):**
    Ini berarti kita harus mempertimbangkan dua kasus berdasarkan tanda $x$.

    *   **Kasus 1: $x < 0$.**
        Jika $x < 0$, maka ruas kanan ($x$) negatif. Karena nilai mutlak selalu non-negatif, pertidaksamaan $|(1-2x)/(x+2)| \le x$ tidak akan pernah terpenuhi jika $x < 0$ (kecuali jika kedua sisi sama dengan 0, yang tidak mungkin di sini karena pembilang dan penyebut tidak bisa nol bersamaan). Jadi, tidak ada solusi untuk $x < 0$.

    *   **Kasus 2: $x \ge 0$.**
        Karena $x \ge 0$, kita bisa mengkuadratkan kedua sisi:
        $|(1-2x)/(x+2)|^2 \le x^2$
        $(1-2x)^2 / (x+2)^2 \le x^2$
        $(1-4x+4x^2) / (x^2+4x+4) \le x^2$
        $1-4x+4x^2 \le x^2(x^2+4x+4)$
        $1-4x+4x^2 \le x^4+4x^3+4x^2$
        $0 \le x^4+4x^3+4x - 1$

        Sekarang kita perlu mencari akar dari $f(x) = x^4+4x^3+4x - 1$. Kita bisa mencoba beberapa nilai rasional, tetapi ini akan sulit. Mari kita coba pendekatan lain atau periksa kembali soalnya.

    **Alternatif Pendekatan untuk $|(1-2x)/(x+2)| \le x$ dengan $x \ge 0$:**
    Kita pecah menjadi dua pertidaksamaan:
    a.  $(1-2x)/(x+2) \le x$
        $(1-2x)/(x+2) - x \le 0$
        $(1-2x - x(x+2))/(x+2) \le 0$
        $(1-2x - x^2 - 2x)/(x+2) \le 0$
        $(-x^2 - 4x + 1)/(x+2) \le 0$
        Kalikan dengan -1 dan balik tanda pertidaksamaan:
        $(x^2 + 4x - 1)/(x+2) \ge 0$
        Akar dari $x^2+4x-1=0$ adalah $x = (-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)})/2 = (-4 \pm \sqrt{20})/2 = (-4 \pm 2\sqrt{5})/2 = -2 \pm \sqrt{5}$.
        Jadi, pembuat nolnya adalah $x = -2-\sqrt{5}$, $x = -2+\sqrt{5}$, dan $x = -2$.
        Kita buat garis bilangan untuk $(x^2 + 4x - 1)/(x+2) \ge 0$. Intervalnya adalah $[-2-\sqrt{5}, -2) \cup [-2+\sqrt{5}, \infty)$.
        Karena kita dalam kasus $x \ge 0$, maka solusi dari bagian ini adalah $x \ge -2+\sqrt{5}$.

    b.  $(1-2x)/(x+2) \ge -x$
        $(1-2x)/(x+2) + x \ge 0$
        $(1-2x + x(x+2))/(x+2) \ge 0$
        $(1-2x + x^2 + 2x)/(x+2) \ge 0$
        $(x^2 + 1)/(x+2) \ge 0$
        Karena $x^2+1$ selalu positif untuk semua bilangan real $x$, maka penyelesaiannya tergantung pada tanda penyebut $x+2$. Agar bernilai $\ge 0$, maka $x+2 > 0$, sehingga $x > -2$.

5.  **Gabungkan hasil dari kedua bagian (a dan b) untuk kasus $x \ge 0$:**
    Kita perlu memenuhi $x \ge -2+\sqrt{5}$ DAN $x > -2$.
    Irisan dari kedua kondisi ini adalah $x \ge -2+\sqrt{5}$.
    Nilai $\sqrt{5}$ kira-kira 2.236, jadi $-2+\sqrt{5} \approx 0.236$.
    Karena kita membatasi pada $x \ge 0$, solusi $x \ge -2+\sqrt{5}$ tetap valid.

6.  **Kesimpulan akhir:**
    Karena tidak ada solusi untuk $x < 0$, dan solusi untuk $x \ge 0$ adalah $x \ge -2+\sqrt{5}$, maka penyelesaian keseluruhan pertidaksamaan adalah $x \ge -2+\sqrt{5}$.

    Perhatikan pilihan jawaban:
    (A) $x \ge \sqrt{5}-2$ (Ini sama dengan $-2+\sqrt{5}$)
    (B) $x \ge \sqrt{5}-1$
    (C) $x \ge \sqrt{5}$
    (D) $x \ge \sqrt{5}+1$
    (E) $x \ge \sqrt{5}+2$

    Jadi, jawaban yang benar adalah (A).