Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa: 3^n>2^n

Gunakan induksi matematika: Basis (n=1 benar), Asumsi (3^k > 2^k), Langkah Induksi (bukti 3^(k+1) > 2^(k+1) dari asumsi).

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa 3^n > 2^n untuk setiap bilangan asli n, kita dapat menggunakan metode induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n = 1:
3¹ > 2¹
3 > 2
Ini benar.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu 3^k > 2^k.

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1, yaitu 3^(k+1) > 2^(k+1).

Mulai dari hipotesis induksi: 3^k > 2^k.
Kalikan kedua sisi dengan 3:
3 * 3^k > 3 * 2^k
3^(k+1) > 3 * 2^k

Sekarang, kita perlu menunjukkan bahwa 3 * 2^k > 2^(k+1).
Kita tahu bahwa 3 > 2. Jika kita mengalikan kedua sisi dengan 2^k (yang merupakan bilangan positif), kita mendapatkan:
3 * 2^k > 2 * 2^k
3 * 2^k > 2^(k+1)

Karena kita memiliki:
3^(k+1) > 3 * 2^k
dan
3 * 2^k > 2^(k+1)

Maka berdasarkan sifat transitif ketidaksamaan, kita dapat menyimpulkan bahwa:
3^(k+1) > 2^(k+1)

Ini membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k+1.

Kesimpulan:
Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan 3^n > 2^n benar untuk setiap bilangan asli n.