Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathFungsi Logaritma

Penyelesaian dari pertidaksamaan 3log

Pertanyaan

Penyelesaian dari pertidaksamaan 3log x+(1/x)log(1/9)>=3log27 adalah . . . .

Solusi

Verified

Jawaban bergantung pada basis logaritma dan metode penyelesaian yang tepat. Jika basis logaritma adalah 3, maka solusinya adalah $x \ge 3^{\frac{9 + \sqrt{105}}{6}}$ atau $3^{\frac{9 - \sqrt{105}}{6}} < x < 1$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $3\log x + \frac{1}{x}\log \frac{1}{9} \ge 3\log 27$, kita perlu menyederhanakan kedua sisi terlebih dahulu. Sisi kiri: $3\log x + \frac{1}{x}\log \frac{1}{9} = 3\log x + \frac{1}{x}\log 9^{-1} = 3\log x - \frac{1}{x}\log 9 = 3\log x - \frac{1}{x}\log 3^2 = 3\log x - \frac{2}{x}\log 3$. Sisi kanan: $3\log 27 = 3\log 3^3 = 3 \times 3 \log 3 = 9 \log 3$. Pertidaksamaan menjadi: $3\log x - \frac{2}{x}\log 3 \ge 9 \log 3$. Kita perlu mencari nilai x yang memenuhi. Namun, perlu diperhatikan bahwa basis logaritma tidak disebutkan secara eksplisit. Diasumsikan basisnya adalah 10 atau e. Jika basisnya sama, kita bisa membandingkan argumennya. Mari kita coba pendekatan lain dengan menggunakan sifat logaritma untuk mengubah basisnya. $3\log x + \log_{1/9} x \ge 3\log 27$. Ini juga salah karena bentuk soal adalah $\frac{1}{x} \log \frac{1}{9}$. Mari kita perbaiki pemahaman soal: $3\log x + \frac{\log(1/9)}{\log x} \ge 3\log 27$. Asumsikan logaritma yang digunakan adalah logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10 (log). $3\log x + \frac{\log(3^{-2})}{\log x} \ge 3\log(3^3)$ $3\log x - \frac{2\log 3}{\log x} \ge 9\log 3$ Misalkan $y = \log x$ dan $a = \log 3$. Maka pertidaksamaan menjadi: $3y - \frac{2a}{y} \ge 9a$ Kita juga perlu memperhatikan domain dari logaritma, yaitu $x > 0$. Untuk $\frac{1}{x} \log \frac{1}{9}$, kita juga perlu $x \neq 1$ jika basisnya x. Namun, jika $\log$ merujuk pada logaritma umum, maka $x>0$. Kembali ke pertidaksamaan: $3y - \frac{2a}{y} \ge 9a$ Kalikan kedua sisi dengan $y$ (kita perlu mempertimbangkan kasus $y>0$ dan $y<0$): Jika $y > 0$: $3y^2 - 2a \ge 9ay 3y^2 - 9ay - 2a \ge 0$. Ini adalah pertidaksamaan kuadrat dalam $y$. Akar-akarnya adalah $y = \frac{9a \pm \sqrt{81a^2 - 4(3)(-2a)}}{6} = \frac{9a \pm \sqrt{81a^2 + 24a}}{6}$. Jika $y < 0$: $3y^2 - 2a \le 9ay 3y^2 - 9ay - 2a \le 0$. Ini menunjukkan bahwa penyelesaiannya melibatkan akar kuadrat dari ekspresi yang bergantung pada $\log 3$. Tanpa nilai numerik atau basis logaritma yang spesifik, sulit untuk memberikan jawaban numerik yang pasti. Namun, jika kita mengasumsikan basis logaritma adalah 3, maka: $3 \log_3 x + \frac{1}{x} \log_3(3^{-2}) \ge 3 \log_3(3^3)$ $3 \log_3 x - \frac{2}{x} \ge 3 \times 3$ $3 \log_3 x - \frac{2}{x} \ge 9$ $\\log_3 x - \frac{2}{3x} \ge 3$ $x \ge 3^{3 + \frac{2}{3x}}$ Ini masih rumit untuk diselesaikan secara aljabar tanpa metode numerik. Namun, jika kita perhatikan struktur soalnya, mungkin ada penyederhanaan yang terlewat. Mari kita cek kembali jika ada kesalahan interpretasi. $3\log x + (\log x)^{-1} \log(9^{-1}) \ge 3\log(27)$ $3\log x - (\log x)^{-1} \log 9 \ge 3\log 27$ $3\log x - \frac{2\log 3}{\log x} \ge 9\log 3$ Mari kita coba uji beberapa nilai atau gunakan sifat logaritma yang berbeda. Jika kita memisalkan $y = \log x$, maka $3y - \frac{2 \log 3}{y} \ge 9 \log 3$. Kalikan dengan $y$ (asumsikan $y > 0$): $3y^2 - 2 \log 3 \ge 9y \log 3$ $3y^2 - 9y \log 3 - 2 \log 3 \ge 0$ Jika kita menganggap soalnya adalah: $3\log x + \log_{1/9} x \ge 3\log 27$, maka: $3\log x + \frac{\log x}{\log(1/9)} \ge 3\log 27$ $3\log x + \frac{\log x}{-2\log 3} \ge 9\log 3$ $\log x (3 - \frac{1}{2\log 3}) \ge 9\log 3$ $\log x (\frac{6\log 3 - 1}{2\log 3}) \ge 9\log 3$ $\log x \ge \frac{9\log 3 \times 2\log 3}{6\log 3 - 1} = \frac{18(\log 3)^2}{6\log 3 - 1}$. Karena soal aslinya adalah $\frac{1}{x} \log \frac{1}{9}$, yang berarti $\frac{\log(1/9)}{\log x}$, maka kita kembali ke: $3\log x + \frac{-2\log 3}{\log x} \ge 9\log 3$ Jika kita gunakan basis 3, $\log_3 x$. Maka: $3\log_3 x + \frac{-2}{\log_3 x} \ge 9$ Misalkan $u = \log_3 x$. $3u - \frac{2}{u} \ge 9$ Asumsikan $u > 0$ (yaitu $x>1$). $3u^2 - 2 \ge 9u$ $3u^2 - 9u - 2 \ge 0$ Akar-akarnya adalah $u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4(3)(-2)}}{6} = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 24}}{6} = \frac{9 \pm \sqrt{105}}{6}$. Karena $u > 0$, maka $u \ge \frac{9 + \sqrt{105}}{6}$. $\log_3 x \ge \frac{9 + \sqrt{105}}{6}$. $x \ge 3^{\frac{9 + \sqrt{105}}{6}}$. Jika $u < 0$ (yaitu $0 < x < 1$). $3u^2 - 2 \le 9u$ $3u^2 - 9u - 2 \le 0$. Akar-akarnya sama. Karena parabola terbuka ke atas, maka $u$ berada di antara akar-akarnya. Namun, karena kita mengasumsikan $u < 0$, maka $\frac{9 - \sqrt{105}}{6} < u < 0$. $\frac{9 - \sqrt{105}}{6} < \log_3 x < 0$. Ini memberikan $3^{\frac{9 - \sqrt{105}}{6}} < x < 3^0 = 1$. Namun, jika kita perhatikan lebih teliti, $\log 3 \approx 0.477$. $\sqrt{105} \approx 10.247$. $\frac{9 + 10.247}{6} \approx \frac{19.247}{6} \approx 3.208$. $\frac{9 - 10.247}{6} \approx \frac{-1.247}{6} \approx -0.208$. Jadi, $x \ge 3^{3.208}$ atau $3^{-0.208} < x < 1$. $3^{3.208} \approx 24.6$. $3^{-0.208} \approx 0.84$. Kemungkinan besar ada kesalahan dalam penulisan soal atau memang dimaksudkan untuk diselesaikan secara numerik/grafik, atau menggunakan sifat logaritma yang spesifik yang tidak langsung terlihat. Jika kita menganggap soalnya adalah $3\log x + \log x \ge 3\log 27$, maka $4\log x \ge 3\log 27 \log x^4 \ge \log 27^3 x^4 \ge 27^3 x \ge (3^3)^ {3/4} = 3^{9/4}$. Jika kita menganggap soalnya adalah $3\log x + \log_{x} (1/9) \ge 3\log 27$, maka: $3\log x - \frac{2\log 3}{\log x} \ge 9\log 3$. Ini adalah bentuk yang sama yang kita dapatkan. Karena penyelesaian yang pasti sulit didapatkan tanpa klarifikasi atau metode numerik, dan soal ini berasal dari konteks matematika sekolah, mari kita coba cari pola atau kemungkinan jawaban yang lebih sederhana. Satu kemungkinan adalah jika ada nilai $x$ tertentu yang membuat kedua sisi sama. Jika kita mengasumsikan bahwa soal ini memiliki solusi yang

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Pertidaksamaan Logaritma
Section: Sifat Sifat Logaritma

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...