Penyelesaian pertidaksamaan |2x-1|<x+1 adalah ...

$0 < x < 2$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak $|2x-1| < x+1$, kita perlu mempertimbangkan dua kasus berdasarkan definisi nilai mutlak:

Kasus 1: $2x-1 \ge 0$, yaitu $x \ge \frac{1}{2}$. Dalam kasus ini, $|2x-1| = 2x-1$.
Pertidaksamaan menjadi:
$2x-1 < x+1$
$2x - x < 1 + 1$
$x < 2$

Kita harus memenuhi kedua syarat, yaitu $x \ge \frac{1}{2}$ dan $x < 2$. Irisan dari kedua kondisi ini adalah $\frac{1}{2} \le x < 2$.

Kasus 2: $2x-1 < 0$, yaitu $x < \frac{1}{2}$. Dalam kasus ini, $|2x-1| = -(2x-1) = 1-2x$.
Pertidaksamaan menjadi:
$1-2x < x+1$
$1 - 1 < x + 2x$
$0 < 3x$
$x > 0$

Kita harus memenuhi kedua syarat, yaitu $x < \frac{1}{2}$ dan $x > 0$. Irisan dari kedua kondisi ini adalah $0 < x < \frac{1}{2}$.

Sekarang kita gabungkan hasil dari kedua kasus. Irisan dari $\frac{1}{2} \le x < 2$ dan $0 < x < \frac{1}{2}$ adalah kedua interval tersebut.

Jadi, penyelesaiannya adalah gabungan dari kedua interval tersebut:
$(0 < x < \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2} \le x < 2)$

Ini dapat disederhanakan menjadi $0 < x < 2$.

**Metode Alternatif (menggunakan kuadrat):**
Karena kedua sisi pertidaksamaan bersifat non-negatif (dengan asumsi $x+1 > 0$, yaitu $x > -1$), kita bisa mengkuadratkan kedua sisi:
$|2x-1|^2 < (x+1)^2$
$(2x-1)^2 < (x+1)^2$
$4x^2 - 4x + 1 < x^2 + 2x + 1$
$4x^2 - x^2 - 4x - 2x + 1 - 1 < 0$
$3x^2 - 6x < 0$
$3x(x - 2) < 0$

Untuk mencari kapan ekspresi ini negatif, kita cari akar-akarnya: $3x = 0 \Rightarrow x = 0$ dan $x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Kita uji interval:
Jika $x < 0$, misal $x=-1$: $3(-1)(-1-2) = 3(-1)(-3) = 9 > 0$ (positif).
Jika $0 < x < 2$, misal $x=1$: $3(1)(1-2) = 3(1)(-1) = -3 < 0$ (negatif).
Jika $x > 2$, misal $x=3$: $3(3)(3-2) = 3(3)(1) = 9 > 0$ (positif).

Jadi, $3x(x-2) < 0$ ketika $0 < x < 2$.

Namun, kita perlu memperhatikan syarat bahwa $x+1$ harus positif agar pertidaksamaan $|A| < B$ ekuivalen dengan $A^2 < B^2$. Jika $x+1 \le 0$ (yaitu $x \le -1$), maka $|2x-1| < x+1$ tidak mungkin terjadi karena nilai mutlak selalu non-negatif.
Jadi, kita perlu menambahkan syarat $x+1 > 0$, atau $x > -1$.

Irisan dari $0 < x < 2$ dan $x > -1$ adalah $0 < x < 2$.

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan $|2x-1| < x+1$ adalah $0 < x < 2$.