Diketahui kubus ABCD.EFGH panjang 6 cm , gambarlah sudut

Besar sudut antara garis BG dan bidang ACGE adalah 30 derajat.

Pembahasan

Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm.
Kita perlu menggambar sudut antara garis BG dan bidang ACGE.
Bidang ACGE adalah bidang diagonal yang dibentuk oleh diagonal alas AC dan diagonal atas EG.
Garis BG adalah diagonal ruang yang menghubungkan titik B ke titik G.
Untuk memvisualisasikan sudutnya, kita bisa memproyeksikan titik B ke bidang ACGE. Proyeksi titik B pada bidang ACGE adalah titik B itu sendiri karena B berada pada bidang tersebut. Namun, yang dimaksud di sini adalah sudut antara garis BG dan bidang ACGE. Garis BG tidak sejajar dengan bidang ACGE, sehingga akan membentuk sudut.
Untuk menghitung besar sudutnya, kita bisa menggunakan proyeksi titik B pada bidang ACGE, namun B sudah ada di bidang tersebut. Sebaiknya kita melihat sudut antara BG dan salah satu garis di bidang ACGE yang melalui titik G, misalnya GC. Namun, ACGE adalah bidang, jadi kita perlu mencari proyeksi titik B pada bidang ACGE. Titik B berada pada bidang tersebut, sehingga yang perlu kita cari adalah sudut antara garis BG dan proyeksi BG pada bidang ACGE. Namun, ini menjadi membingungkan.
Alternatifnya, kita dapat memproyeksikan B ke bidang ACGE. Proyeksi B pada ACGE adalah B itu sendiri. Ini tidak membantu.
Mari kita pertimbangkan proyeksi titik G ke bidang yang dibentuk oleh garis BG. Ini juga tidak membantu.
Perlu diperjelas apa yang dimaksud dengan 'sudut antara garis BG dengan ACGE'. Jika yang dimaksud adalah sudut antara garis BG dan bidang ACGE, kita perlu mencari garis di bidang ACGE yang tegak lurus terhadap proyeksi BG pada bidang tersebut. Ini tidak langsung.

Mari kita asumsikan yang dimaksud adalah sudut antara garis BG dan salah satu diagonal bidang ACGE, misalnya GC atau AG. Namun, ACGE adalah bidang, bukan garis.

Jika kita menginterpretasikan 'sudut antara garis BG dengan ACGE' sebagai sudut antara garis BG dan bidang ACGE, maka kita perlu mencari proyeksi titik B pada bidang ACGE. Karena B terletak pada bidang tersebut, kita perlu melihat hubungan antara BG dengan bidang tersebut. 

Mari kita coba cara lain. Kita dapat menganggap bidang ACGE sebagai bidang referensi. Kita perlu mencari sudut antara vektor BG dan bidang ACGE. 

Namun, jika kita menganggap bidang ACGE sebagai bidang yang dibentuk oleh diagonal AC dan EG, kita perlu mencari sudut antara garis BG dan bidang tersebut. Kita dapat mencari sudut antara BG dan proyeksinya pada bidang tersebut.

Mari kita perjelas pemahaman soal. Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan garis pada bidang yang melalui titik potong garis dan bidang, dan proyeksi garis pada bidang tersebut. Titik potong BG dengan bidang ACGE adalah G. Kita perlu mencari proyeksi B pada bidang ACGE. Proyeksi B pada bidang ACGE adalah titik B itu sendiri. Jadi, kita perlu mencari sudut antara BG dengan bidang ACGE.

Kita dapat menggunakan vektor. Misalkan B=(0,6,0), C=(6,6,0), G=(6,6,6), A=(0,0,0). Maka ACGE adalah bidang yang dibentuk oleh A, C, G, E. Vektor BA = (0, -6, 0), BC = (6, 0, 0), BF = (0, 0, 6). 

Jika kita ambil B sebagai titik asal (0,0,0), maka C=(6,0,0), G=(6,6,6). Bidang ACGE. Diagonal AC pada bidang alas, diagonal EG pada bidang atas. Bidang ACGE dibentuk oleh A, C, G, E. 

Mari kita ambil titik sudut kubus: A=(0,0,0), B=(6,0,0), C=(6,6,0), D=(0,6,0), E=(0,0,6), F=(6,0,6), G=(6,6,6), H=(0,6,6). 

Garis BG: vektor BG = G - B = (6,6,6) - (6,0,0) = (0,6,6).
Bidang ACGE dibentuk oleh titik A(0,0,0), C(6,6,0), G(6,6,6), E(0,0,6). Vektor normal bidang ACGE. Vektor AC = C - A = (6,6,0). Vektor AE = E - A = (0,0,6). Vektor normal n = AC x AE = (6,6,0) x (0,0,6) = (36, -36, 0). Kita bisa sederhanakan menjadi (1, -1, 0).

Sudut antara garis BG dan bidang ACGE diberikan oleh rumus:
sin(theta) = |(BG . n)| / (||BG|| * ||n||)

BG . n = (0,6,6) . (1,-1,0) = 0*1 + 6*(-1) + 6*0 = -6.
||BG|| = sqrt(0² + 6² + 6²) = sqrt(36 + 36) = sqrt(72) = 6*sqrt(2).
||n|| = sqrt(1² + (-1)² + 0²) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2).

sin(theta) = |-6| / (6*sqrt(2) * sqrt(2)) = 6 / (6 * 2) = 6 / 12 = 1/2.

Jika sin(theta) = 1/2, maka theta = 30 derajat.