Kelas 12Kelas 11mathAljabar
Penyelesaian pertidaksamaan akar(x)/(x-2)<= 3/7 adalah ....
Pertanyaan
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan akar(x)/(x-2)<= 3/7.
Solusi
Verified
Penyelesaiannya adalah [0, 2) U [9, ∞).
Pembahasan
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \(\frac{\sqrt{x}}{x-2} \le \frac{3}{7}\), kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut: 1. **Menentukan Domain:** Agar \(\sqrt{x}\) terdefinisi, maka \(x \ge 0\). Agar penyebut \(x-2\) tidak nol, maka \(x \ne 2\). Jadi, domain pertidaksamaan adalah \(x \ge 0\) dan \(x \ne 2\). 2. **Memindahkan semua suku ke satu sisi:** \(\frac{\sqrt{x}}{x-2} - \frac{3}{7} \le 0\) 3. **Menyamakan penyebut:** \(\frac{7\sqrt{x} - 3(x-2)}{7(x-2)} \le 0\) \(\frac{7\sqrt{x} - 3x + 6}{7(x-2)} \le 0\) 4. **Menganalisis tanda pembilang dan penyebut:** Kita perlu mencari nilai-nilai \(x\) yang membuat pembilang \(7\sqrt{x} - 3x + 6 = 0\) dan penyebut \(7(x-2) = 0\) menjadi nol. * **Penyebut:** \(7(x-2) = 0 \implies x = 2\). Ingat bahwa \(x=2\) tidak termasuk dalam solusi karena membuat penyebut nol. * **Pembilang:** \(7\sqrt{x} - 3x + 6 = 0\). Misalkan \(y = \sqrt{x}\), maka \(y^2 = x\). Persamaan menjadi: \(7y - 3y^2 + 6 = 0\) \(-3y^2 + 7y + 6 = 0\) \(3y^2 - 7y - 6 = 0\) Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini: \((3y + 2)(y - 3) = 0\) Ini memberikan dua solusi untuk \(y\): \(3y + 2 = 0 \implies y = -2/3\) \(y - 3 = 0 \implies y = 3\) Karena \(y = \sqrt{x}\), maka \(y\) harus non-negatif. Jadi, \(y = -2/3\) tidak valid. Kita gunakan \(y = 3\): \(\sqrt{x} = 3\) \(x = 3^2 = 9\). Jadi, pembilang nol ketika \(x=9\). 5. **Membuat garis bilangan:** Kita memiliki nilai-nilai kritis \(x = 0\) (dari domain \(x o 0^+ \)), \(x = 2\), dan \(x = 9\). Kita perlu menguji interval berikut: * \(0 < x < 2\) * \(2 < x < 9\) * \(x > 9\) Kita gunakan bentuk \(\frac{7\sqrt{x} - 3x + 6}{7(x-2)}\). * **Uji \(0 < x < 2\):** Pilih \(x = 1\). Pembilang: \(7\sqrt{1} - 3(1) + 6 = 7 - 3 + 6 = 10\) (positif) Penyebut: \(7(1-2) = 7(-1) = -7\) (negatif) Hasil: \(10 / -7 \) (negatif). \(\frac{\text{positif}}{\text{negatif}} = \text{negatif}\). Karena \(\frac{\text{negatif}}{1} \le 0\), interval \(0 < x < 2\) adalah solusi. * **Uji \(2 < x < 9\):** Pilih \(x = 4\). Pembilang: \(7\sqrt{4} - 3(4) + 6 = 7(2) - 12 + 6 = 14 - 12 + 6 = 8\) (positif) Penyebut: \(7(4-2) = 7(2) = 14\) (positif) Hasil: \(8 / 14\) (positif). \(\frac{\text{positif}}{\text{positif}} = \text{positif}\). Karena \(\frac{\text{positif}}{1} \not\le 0\), interval \(2 < x < 9\) bukan solusi. * **Uji \(x > 9\):** Pilih \(x = 16\). Pembilang: \(7\sqrt{16} - 3(16) + 6 = 7(4) - 48 + 6 = 28 - 48 + 6 = -14\) (negatif) Penyebut: \(7(16-2) = 7(14) = 98\) (positif) Hasil: \(-14 / 98\) (negatif). \(\frac{\text{negatif}}{\text{positif}} = \text{negatif}\). Karena \(\frac{\text{negatif}}{1} \le 0\), interval \(x > 9\) adalah solusi. 6. **Menyertakan titik batas:** * \(x=0\) (dari domain) membuat \(\sqrt{x}\) menjadi 0. Maka \(\frac{0}{0-2} = 0\). \(0 \\\le 3/7\), jadi \(x=0\) adalah solusi. * \(x=2\) membuat penyebut nol, jadi tidak termasuk. * \(x=9\) membuat pembilang nol, sehingga \(\frac{\sqrt{9}}{9-2} = \frac{3}{7}\). \(\frac{3}{7} \le \frac{3}{7}\), jadi \(x=9\) adalah solusi. 7. **Menggabungkan hasil:** Solusi dari \(0 < x < 2\) adalah \((0, 2)\). Solusi dari \(x > 9\) adalah \((9, \infty)\). Karena \(x=0\) dan \(x=9\) juga merupakan solusi, maka intervalnya adalah \([0, 2)\) dan \([9, \infty)\). Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah \(0 \le x < 2\) atau \(x \ge 9\). Dalam notasi interval: \([0, 2) \cup [9, \infty)\).
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Pertidaksamaan
Section: Pertidaksamaan Rasional Dengan Akar
Apakah jawaban ini membantu?