Penyelesaian pertidaksamaan akar(x)/(x-2)<= 3/7 adalah ....

Penyelesaiannya adalah [0, 2) U [9, ∞).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \(\frac{\sqrt{x}}{x-2} \le \frac{3}{7}\), kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Menentukan Domain:**
    Agar \(\sqrt{x}\) terdefinisi, maka \(x \ge 0\).
    Agar penyebut \(x-2\) tidak nol, maka \(x \ne 2\).
    Jadi, domain pertidaksamaan adalah \(x \ge 0\) dan \(x \ne 2\).

2.  **Memindahkan semua suku ke satu sisi:**
    \(\frac{\sqrt{x}}{x-2} - \frac{3}{7} \le 0\)

3.  **Menyamakan penyebut:**
    \(\frac{7\sqrt{x} - 3(x-2)}{7(x-2)} \le 0\)
    \(\frac{7\sqrt{x} - 3x + 6}{7(x-2)} \le 0\)

4.  **Menganalisis tanda pembilang dan penyebut:**
    Kita perlu mencari nilai-nilai \(x\) yang membuat pembilang \(7\sqrt{x} - 3x + 6 = 0\) dan penyebut \(7(x-2) = 0\) menjadi nol.

    *   **Penyebut:** \(7(x-2) = 0 \implies x = 2\). Ingat bahwa \(x=2\) tidak termasuk dalam solusi karena membuat penyebut nol.
    
    *   **Pembilang:** \(7\sqrt{x} - 3x + 6 = 0\).
        Misalkan \(y = \sqrt{x}\), maka \(y^2 = x\). Persamaan menjadi:
        \(7y - 3y^2 + 6 = 0\)
        \(-3y^2 + 7y + 6 = 0\)
        \(3y^2 - 7y - 6 = 0\)
        Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
        \((3y + 2)(y - 3) = 0\)
        Ini memberikan dua solusi untuk \(y\):
        \(3y + 2 = 0 \implies y = -2/3\)
        \(y - 3 = 0 \implies y = 3\)
        
        Karena \(y = \sqrt{x}\), maka \(y\) harus non-negatif. Jadi, \(y = -2/3\) tidak valid.
        Kita gunakan \(y = 3\):
        \(\sqrt{x} = 3\)
        \(x = 3^2 = 9\).
        Jadi, pembilang nol ketika \(x=9\).

5.  **Membuat garis bilangan:**
    Kita memiliki nilai-nilai kritis \(x = 0\) (dari domain \(x 	o 0^+ \)), \(x = 2\), dan \(x = 9\).
    Kita perlu menguji interval berikut:
    *   \(0 < x < 2\)
    *   \(2 < x < 9\)
    *   \(x > 9\)
    
    Kita gunakan bentuk \(\frac{7\sqrt{x} - 3x + 6}{7(x-2)}\).
    
    *   **Uji \(0 < x < 2\):** Pilih \(x = 1\).
        Pembilang: \(7\sqrt{1} - 3(1) + 6 = 7 - 3 + 6 = 10\) (positif)
        Penyebut: \(7(1-2) = 7(-1) = -7\) (negatif)
        Hasil: \(10 / -7 \) (negatif).
        \(\frac{\text{positif}}{\text{negatif}} = \text{negatif}\).
        Karena \(\frac{\text{negatif}}{1} \le 0\), interval \(0 < x < 2\) adalah solusi.
    
    *   **Uji \(2 < x < 9\):** Pilih \(x = 4\).
        Pembilang: \(7\sqrt{4} - 3(4) + 6 = 7(2) - 12 + 6 = 14 - 12 + 6 = 8\) (positif)
        Penyebut: \(7(4-2) = 7(2) = 14\) (positif)
        Hasil: \(8 / 14\) (positif).
        \(\frac{\text{positif}}{\text{positif}} = \text{positif}\).
        Karena \(\frac{\text{positif}}{1} \not\le 0\), interval \(2 < x < 9\) bukan solusi.
    
    *   **Uji \(x > 9\):** Pilih \(x = 16\).
        Pembilang: \(7\sqrt{16} - 3(16) + 6 = 7(4) - 48 + 6 = 28 - 48 + 6 = -14\) (negatif)
        Penyebut: \(7(16-2) = 7(14) = 98\) (positif)
        Hasil: \(-14 / 98\) (negatif).
        \(\frac{\text{negatif}}{\text{positif}} = \text{negatif}\).
        Karena \(\frac{\text{negatif}}{1} \le 0\), interval \(x > 9\) adalah solusi.

6.  **Menyertakan titik batas:**
    *   \(x=0\) (dari domain) membuat \(\sqrt{x}\) menjadi 0. Maka \(\frac{0}{0-2} = 0\). \(0 \\\le 3/7\), jadi \(x=0\) adalah solusi.
    *   \(x=2\) membuat penyebut nol, jadi tidak termasuk.
    *   \(x=9\) membuat pembilang nol, sehingga \(\frac{\sqrt{9}}{9-2} = \frac{3}{7}\). \(\frac{3}{7} \le \frac{3}{7}\), jadi \(x=9\) adalah solusi.

7.  **Menggabungkan hasil:**
    Solusi dari \(0 < x < 2\) adalah \((0, 2)\).
    Solusi dari \(x > 9\) adalah \((9, \infty)\).
    Karena \(x=0\) dan \(x=9\) juga merupakan solusi, maka intervalnya adalah \([0, 2)\) dan \([9, \infty)\).
    
    Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah \(0 \le x < 2\) atau \(x \ge 9\).
    Dalam notasi interval: \([0, 2) \cup [9, \infty)\).