Penyelesaian pertidaksamaan x/(x+2)>x adalah ....

Penyelesaiannya adalah $x < -2$ atau $-1 < x < 0$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{x}{x+2} > x$, kita perlu memindahkan semua suku ke satu sisi agar sisi lainnya menjadi nol, lalu mencari akar-akar pembilang dan penyebutnya.

$\frac{x}{x+2} - x > 0$

Samakan penyebutnya:
$\frac{x}{x+2} - \frac{x(x+2)}{x+2} > 0$

$\frac{x - x(x+2)}{x+2} > 0$

$\frac{x - x^2 - 2x}{x+2} > 0$

$\frac{-x^2 - x}{x+2} > 0$

Kalikan dengan -1 dan balik tanda pertidaksamaan:
$\frac{x^2 + x}{x+2} < 0$

Faktorkan pembilangnya:
$\frac{x(x+1)}{x+2} < 0$

Sekarang kita cari akar-akar dari pembilang dan penyebut:
- Akar pembilang: $x = 0$ dan $x+1 = 0 \implies x = -1$
- Akar penyebut: $x+2 = 0 \implies x = -2$

Kita punya tiga titik kritis: -2, -1, dan 0. Titik -2 tidak termasuk karena berasal dari penyebut.
Kita uji interval yang dibentuk oleh titik-titik ini:

1. **Interval x < -2:** Ambil $x = -3$
   $\frac{-3(-3+1)}{-3+2} = \frac{-3(-2)}{-1} = \frac{6}{-1} = -6$. Karena $-6 < 0$, interval ini memenuhi.

2. **Interval -2 < x < -1:** Ambil $x = -1,5$
   $\frac{-1,5(-1,5+1)}{-1,5+2} = \frac{-1,5(-0,5)}{0,5} = \frac{0,75}{0,5} = 1,5$. Karena $1,5 
ot< 0$, interval ini tidak memenuhi.

3. **Interval -1 < x < 0:** Ambil $x = -0,5$
   $\frac{-0,5(-0,5+1)}{-0,5+2} = \frac{-0,5(0,5)}{1,5} = \frac{-0,25}{1,5} = -0,166...$. Karena $-0,166... < 0$, interval ini memenuhi.

4. **Interval x > 0:** Ambil $x = 1$
   $\frac{1(1+1)}{1+2} = \frac{1(2)}{3} = \frac{2}{3}$. Karena $\frac{2}{3} 
ot< 0$, interval ini tidak memenuhi.

Hasilnya adalah $x < -2$ atau $-1 < x < 0$.

Penyelesaian pertidaksamaan adalah $x < -2$ atau $-1 < x < 0$.