Penyelesaian sistem persamaan x^2+y^2=169 dan y^2=5x-35

24 dan 0

Pembahasan

Kita diberikan sistem persamaan:
1) x² + y² = 169
2) y² = 5x - 35

Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1):
x² + (5x - 35) = 169
x² + 5x - 35 - 169 = 0
x² + 5x - 204 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk ax² + bx + c = 0, di mana a=1, b=5, dan c=-204. Akar-akar dari persamaan ini adalah x1 dan x2.
Menurut Vieta's formulas, jumlah akar-akar (x1 + x2) adalah -b/a.
Jadi, x1 + x2 = -5 / 1 = -5.

Untuk mencari (y1 + y2), kita perlu mencari nilai y1 dan y2. Kita tahu bahwa y² = 5x - 35.
Jika x1 adalah solusi pertama, maka y1² = 5x1 - 35.
Jika x2 adalah solusi kedua, maka y2² = 5x2 - 35.

Kita tidak bisa langsung menjumlahkan y1 dan y2 dari sini karena kita tidak tahu nilai y1 dan y2 secara spesifik (apakah positif atau negatif).
Namun, kita bisa melihat bahwa y² = 5x - 35. Jadi, y = ±√(5x - 35).
Ini berarti untuk setiap nilai x yang valid, ada dua kemungkinan nilai y (positif dan negatif), kecuali jika 5x - 35 = 0.

Mari kita cari nilai x1 dan x2 dari x² + 5x - 204 = 0 menggunakan rumus kuadrat:
x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a
x = [-5 ± sqrt(5² - 4*1*(-204))] / 2*1
x = [-5 ± sqrt(25 + 816)] / 2
x = [-5 ± sqrt(841)] / 2
x = [-5 ± 29] / 2

x1 = (-5 + 29) / 2 = 24 / 2 = 12
x2 = (-5 - 29) / 2 = -34 / 2 = -17

Sekarang kita cari nilai y yang bersesuaian:
Untuk x1 = 12:
y² = 5(12) - 35 = 60 - 35 = 25
y = ±5
Jadi, titik solusinya adalah (12, 5) dan (12, -5).

Untuk x2 = -17:
y² = 5(-17) - 35 = -85 - 35 = -120
Karena y² tidak bisa bernilai negatif dalam bilangan real, maka x = -17 bukan merupakan solusi yang valid untuk sistem persamaan ini dalam bilangan real.

Jadi, satu-satunya pasangan solusi real adalah (12, 5) dan (12, -5).
Dalam notasi soal, (x1, y1) = (12, 5) dan (x2, y2) = (12, -5) (atau sebaliknya).

Maka, x1 + x2 = 12 + 12 = 24.
Dan, y1 + y2 = 5 + (-5) = 0.

Namun, jika kita mengacu pada pertanyaan yang menanyakan "Nilai (x1+x2) dan (y1+y2) berturut-turut adalah ...." dan persamaan kuadrat untuk x adalah x² + 5x - 204 = 0, maka jumlah akar-akarnya x1 + x2 = -5, berdasarkan Vieta's formulas. Jika kita tidak perlu menyelesaikan untuk x dan y secara eksplisit, maka jawabannya akan didasarkan pada koefisien persamaan kuadrat.

Jika kita mengasumsikan bahwa soal menginginkan jumlah dari semua nilai x dan jumlah dari semua nilai y yang memenuhi sistem, maka:
Solusi x adalah 12 (muncul dua kali karena y bisa positif atau negatif).
Solusi y adalah 5 dan -5.

Mari kita periksa kembali interpretasi soal. "Penyelesaian sistem persamaan ... adalah (x1,y1) dan (x2,y2)". Ini menyiratkan ada dua pasangan solusi.
Kita menemukan dua pasangan solusi: (12, 5) dan (12, -5).
Jadi, x1=12, y1=5 dan x2=12, y2=-5 (atau sebaliknya).

x1 + x2 = 12 + 12 = 24
y1 + y2 = 5 + (-5) = 0

Jika pertanyaan merujuk pada akar-akar dari persamaan kuadrat x² + 5x - 204 = 0 sebagai x1 dan x2, maka:
x1 + x2 = -5

Namun, y1 dan y2 terkait dengan x1 dan x2. Jika x1 = 12, maka y1² = 25, jadi y1 = 5 atau y1 = -5. Jika x2 = 12, maka y2² = 25, jadi y2 = 5 atau y2 = -5.
Karena sistemnya adalah x²+y²=169 dan y²=5x-35, solusi yang mungkin adalah (12, 5) dan (12, -5).

Jadi, kita memiliki satu nilai x yang berulang (x=12) dan dua nilai y yang berlawanan (y=5 dan y=-5).
Jika (x1, y1) = (12, 5) dan (x2, y2) = (12, -5):
x1 + x2 = 12 + 12 = 24
y1 + y2 = 5 + (-5) = 0

Jika kita menggunakan vieta's formula untuk x dari x² + 5x - 204 = 0, maka x1 + x2 = -5. Tetapi nilai x yang memenuhi sistem secara keseluruhan adalah x=12 (dua kali, untuk y positif dan negatif). 

Kemungkinan besar, soal merujuk pada solusi pasangan (x,y).
Jadi, x1 = 12, y1 = 5, x2 = 12, y2 = -5.
Nilai (x1+x2) = 12 + 12 = 24.
Nilai (y1+y2) = 5 + (-5) = 0.

Jadi, (x1+x2) dan (y1+y2) berturut-turut adalah 24 dan 0.