Perhatikan gambar berikut. 10 cm 10 cm 10 cm Sebuah talang

60°

Pembahasan

Untuk memaksimalkan volume talang air yang berbentuk prisma segitiga, kita perlu memaksimalkan luas alasnya. Luas alas prisma segitiga dengan alas terbuka dan sisi miring (dinding talang) yang dilipat adalah luas segitiga. Jika lebar lembaran seng adalah 30 cm dan dilipat menjadi tiga bagian sama besar, maka setiap bagian memiliki lebar 10 cm. Dengan $\theta$ sebagai sudut antara dinding talang dan bidang aksisnya, tinggi dinding talang adalah $10 \sin \theta$ dan alas horizontal di antara kedua dinding adalah $2 \times (10 \cos \theta)$. Namun, ini membentuk prisma dengan alas trapesium. Jika kita membayangkan talang sebagai prisma dengan penampang segitiga, di mana alasnya adalah lebar total 30 cm dan dilipat menjadi tiga bagian sama, maka tinggi dari setiap lipatan adalah $30/3 = 10$ cm. Jika $\theta$ adalah sudut antara dinding talang dan bidang horizontal, maka tinggi efektif talang (setengah dari penampang) adalah $10 \sin \theta$. Lebar alas horizontal efektif adalah $2 	imes (10 \cos \theta)$. Volume maksimum terjadi ketika luas penampang maksimum. Luas penampang adalah $1/2 \times \text{alas} \times \text{tinggi}$. Jika kita menganggap penampang adalah segitiga sama kaki dengan panjang sisi yang sama 10 cm, dan sudut $\theta$ adalah sudut di puncak yang membagi dua sama besar, maka tinggi talang adalah $10 	extrm{sin}(\theta/2)$. Namun, interpretasi yang lebih umum adalah talang dibentuk dari lembaran lebar 30cm, dilipat menjadi 3 bagian sama, yang berarti 10cm, 10cm, 10cm. Sudut $\theta$ antara dinding talang dan bidang aksis (horizontal) berarti dinding talang membentuk sudut dengan alas. Jika lebar total 30cm dilipat menjadi tiga bagian sama, maka lebar alas horizontal adalah 10 cm, dan tinggi masing-masing dinding adalah 10 cm. Agar volume maksimum, penampang haruslah segitiga sama kaki. Jika $\theta$ adalah sudut antara dinding talang dan bidang datar (alas), maka tinggi talang adalah $10 \sin \theta$. Luas penampang adalah $1/2 \times 10 	imes (10 	extrm{sin } \theta) = 50 	extrm{sin } \theta$. Volume maksimum ketika $\sin \theta$ maksimum, yaitu $\sin \theta = 1$. Ini terjadi ketika $\theta = 90°$. Namun, jika $\theta$ adalah sudut yang dibentuk oleh lipatan dengan garis vertikal dari tepi, maka tinggi talang adalah $10 	extrm{cos } \theta$ dan lebar alas adalah $10 + 2(10 	extrm{sin } \theta)$. Jika $\theta$ adalah sudut antara dinding talang dan bidang horizontal (aksis), maka tinggi talang adalah $10 	extrm{sin } \theta$ dan lebar alas adalah $10 + 2 	imes 10 	extrm{cos } \theta$. Ini tidak sesuai dengan soal. Mari kita kembali ke interpretasi bahwa lembaran seng lebar 30 cm dilipat menjadi tiga bagian sama, membentuk penampang trapesium siku-siku. Dua sisi tegak masing-masing 10 cm, dan alas horizontalnya juga 10 cm. $\theta$ adalah sudut antara dinding talang dan bidang aksisnya. Jika dinding talang adalah sisi yang miring, maka tinggi talang adalah $10 	extrm{sin } \theta$ dan proyeksi horizontalnya adalah $10 	extrm{cos } \theta$. Alasnya adalah 10 cm. Luas penampang = Luas persegi panjang + Luas segitiga = $10 	imes (10 	extrm{sin } \theta) + 1/2 	imes (10 	extrm{cos } \theta) 	imes (10 	extrm{sin } \theta)$. Ini juga rumit. Interpretasi yang paling masuk akal adalah bahwa talang dibentuk dari tiga segmen yang sama lebarnya, 10 cm. Bentuk penampang adalah trapesium sama kaki. Jika $\theta$ adalah sudut antara dinding talang (sisi miring) dan bidang horizontal (alas), maka tinggi talang adalah $10 	extrm{sin } \theta$. Alas horizontalnya adalah $10 + 2(10 	extrm{cos } \theta)$. Luas penampang = $1/2 	imes (	extrm{alas atas} + 	extrm{alas bawah}) 	imes 	extrm{tinggi}$. Di sini, alas bawah adalah 10 cm, dan sisi miring adalah 10 cm. Jika $\theta$ adalah sudut antara sisi miring dan alas horizontal, maka tinggi talang adalah $10 	extrm{sin } \theta$, dan separuh alas horizontal di bawah sisi miring adalah $10 	extrm{cos } \theta$. Maka alas totalnya adalah $10 + 2 	imes 10 	extrm{cos } \theta$. Luas penampang = $1/2 	imes (10 + 10 + 2 	imes 10 	extrm{cos } \theta) 	imes (10 	extrm{sin } \theta) = (10 + 10 	extrm{cos } \theta) 	imes (10 	extrm{sin } \theta) = 100 	extrm{sin } \theta + 100 	extrm{sin } \theta 	extrm{cos } \theta$. Untuk volume maksimum, kita perlu memaksimalkan luas penampang. Turunkan terhadap $\theta$: $dL/d\theta = 100 	extrm{cos } \theta + 100 (	extrm{cos}^2 \theta - 	extrm{sin}^2 \theta)$. Setel $dL/d\theta = 0$: $\cos \theta + 	extrm{cos}^2 \theta - 	extrm{sin}^2 \theta = 0$. Menggunakan $\textrm{sin}^2 \theta = 1 - 	extrm{cos}^2 \theta$: $\cos \theta + 	extrm{cos}^2 \theta - (1 - 	extrm{cos}^2 \theta) = 0$. $2 	extrm{cos}^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$. Faktorkan: $(2 	extrm{cos } \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0$. Maka $\cos \theta = 1/2$ atau $\cos \theta = -1$. Jika $\cos \theta = 1/2$, maka $\theta = 60°$. Jika $\cos \theta = -1$, maka $\theta = 180°$, yang tidak masuk akal untuk talang. Jadi, nilai $\theta$ agar volume air yang tertampung maksimum adalah 60°.