Perhatikan gambar berikut. A B C D E F G H Diketahui

a. OA = 3i, b. OB = 3i + 4j, c. OC = 4j, d. OG = 4j + 5k

Pembahasan

Untuk menyatakan vektor-vektor dalam bentuk i, j, dan k, kita perlu menentukan koordinat titik-titik yang terlibat terlebih dahulu. Diketahui koordinat titik A(3,0,0), C(0,4,0), dan D(0,0,5).

Karena ini adalah kubus atau balok, kita dapat menyimpulkan koordinat titik lainnya:

*   Titik A memiliki koordinat (3,0,0). Ini berarti vektor OA = 3i + 0j + 0k = 3i.
*   Titik C memiliki koordinat (0,4,0). Ini berarti vektor OC = 0i + 4j + 0k = 4j.
*   Titik D memiliki koordinat (0,0,5). Ini berarti vektor OD = 0i + 0j + 5k = 5k.

Sekarang kita tentukan koordinat titik B, E, F, G, H.

Dalam sistem koordinat 3D, jika A adalah (3,0,0), C adalah (0,4,0), dan D adalah (0,0,5), ini mengindikasikan bahwa sumbu-sumbu (x, y, z) sejajar dengan rusuk-rusuk yang berasal dari titik asal.

Asumsikan titik asal O adalah (0,0,0).

*   Vektor OA = A - O = (3,0,0) - (0,0,0) = (3,0,0). Maka OA = 3i.
*   Vektor OC = C - O = (0,4,0) - (0,0,0) = (0,4,0). Maka OC = 4j.
*   Vektor OD = D - O = (0,0,5) - (0,0,0) = (0,0,5). Maka OD = 5k.

Untuk menemukan titik B, kita perhatikan bahwa ABCD membentuk alas (atau salah satu sisi) dari balok/prisma. Jika O adalah titik asal, dan A=(3,0,0), C=(0,4,0), maka:

*   Titik B dapat dibentuk dengan menjumlahkan vektor OA dan OC (jika ABCD adalah persegi panjang pada bidang xy):
    B = A + (C-O) = (3,0,0) + (0,4,0) = (3,4,0). Maka OB = 3i + 4j.

Sekarang kita perlu mencari titik G dan P.
*   Titik G biasanya berlawanan dengan A pada bidang yang dibentuk oleh C dan D (atau sisi balok yang lain).
    Jika A=(3,0,0), C=(0,4,0), D=(0,0,5), maka:
    B = (3,4,0) (di bidang xy)
    E = (3,0,5) (di bidang xz, sejajar D)
    F = (3,4,5) (titik terjauh dari O)
    G = (0,4,5) (di bidang yz, sejajar D)

*   Titik P adalah titik tengah GF.
    G = (0,4,5)
    F = (3,4,5)
    Titik tengah P = ((0+3)/2, (4+4)/2, (5+5)/2) = (3/2, 4, 5).
    Maka OP = (3/2)i + 4j + 5k.

Sekarang kita nyatakan vektor-vektor yang diminta dalam i, j, dan k:

a. OA
   Vektor OA adalah vektor dari titik asal O(0,0,0) ke titik A(3,0,0).
   OA = A - O = (3,0,0) - (0,0,0) = (3,0,0).
   Jadi, OA = 3i.

b. OB
   Vektor OB adalah vektor dari titik asal O(0,0,0) ke titik B(3,4,0).
   OB = B - O = (3,4,0) - (0,0,0) = (3,4,0).
   Jadi, OB = 3i + 4j.

c. OC
   Vektor OC adalah vektor dari titik asal O(0,0,0) ke titik C(0,4,0).
   OC = C - O = (0,4,0) - (0,0,0) = (0,4,0).
   Jadi, OC = 4j.

d. OG
   Vektor OG adalah vektor dari titik asal O(0,0,0) ke titik G(0,4,5).
   OG = G - O = (0,4,5) - (0,0,0) = (0,4,5).
   Jadi, OG = 4j + 5k.

Jawaban:
a. OA = 3i
b. OB = 3i + 4j
c. OC = 4j
d. OG = 4j + 5k