Perhatikan gambar berikut.Gambar 5.56 Selembar karton untuk

Tinggi: 5 - sqrt(7) cm, Panjang: 8 + 2*sqrt(7) cm, Lebar: 2 + 2*sqrt(7) cm

Pembahasan

Untuk memaksimalkan volume kotak tanpa tutup yang dibuat dari selembar karton berukuran 18 cm x 12 cm dengan memotong persegi berukuran sama di setiap sudut, kita perlu menentukan ukuran sisi persegi yang dipotong.

Misalkan sisi persegi yang dipotong adalah x cm. Maka, panjang alas kotak akan menjadi (18 - 2x) cm, lebar alas menjadi (12 - 2x) cm, dan tinggi kotak menjadi x cm.

Volume kotak (V) diberikan oleh:
V = panjang * lebar * tinggi
V(x) = (18 - 2x)(12 - 2x)(x)
V(x) = (216 - 36x - 24x + 4x^2)(x)
V(x) = (216 - 60x + 4x^2)(x)
V(x) = 4x^3 - 60x^2 + 216x

Untuk mencari volume maksimum, kita perlu mencari turunan pertama V(x) terhadap x dan menyamakannya dengan nol:
dV/dx = 12x^2 - 120x + 216

Samakan turunan dengan nol:
12x^2 - 120x + 216 = 0

Bagi seluruh persamaan dengan 12:
x^2 - 10x + 18 = 0

Gunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai x:
x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
x = [10 ± sqrt((-10)^2 - 4*1*18)] / (2*1)
x = [10 ± sqrt(100 - 72)] / 2
x = [10 ± sqrt(28)] / 2
x = [10 ± 2*sqrt(7)] / 2
x = 5 ± sqrt(7)

Kita mendapatkan dua nilai x: x1 = 5 + sqrt(7) dan x2 = 5 - sqrt(7).
Karena panjang sisi x tidak boleh melebihi setengah dari dimensi terkecil karton (yaitu 12/2 = 6), maka kita harus memilih nilai x yang lebih kecil.
sqrt(7) kira-kira 2.646.
Jadi, x1 ≈ 5 + 2.646 = 7.646 (tidak valid karena > 6)
x2 ≈ 5 - 2.646 = 2.354 (valid)

Jadi, tinggi kotak adalah x = 5 - sqrt(7) cm.

Panjang kotak = 18 - 2x = 18 - 2(5 - sqrt(7)) = 18 - 10 + 2*sqrt(7) = 8 + 2*sqrt(7) cm.
Lebar kotak = 12 - 2x = 12 - 2(5 - sqrt(7)) = 12 - 10 + 2*sqrt(7) = 2 + 2*sqrt(7) cm.

Untuk memastikan ini adalah maksimum, kita bisa menggunakan turunan kedua: d^2V/dx^2 = 24x - 120. Untuk x = 5 - sqrt(7), nilai ini negatif, yang menunjukkan maksimum.