Perhatikan gambar berikut. H G E F D C A B Pada balok

Bidang ACF sejajar dengan bidang DEG karena vektor normal kedua bidang berlawanan arah, yang menunjukkan keduanya saling sejajar.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa bidang ACF sejajar dengan bidang DEG pada balok ABCD.EFGH dengan AB=6 cm, AD=5 cm, dan AE=4 cm, kita dapat menggunakan konsep vektor atau sifat-sifat geometri bidang.

Metode Vektor:
Misalkan A sebagai titik asal (0,0,0).
Koordinat titik-titik adalah:
A = (0,0,0)
B = (6,0,0)
C = (6,5,0)
D = (0,5,0)
E = (0,0,4)
F = (6,0,4)
G = (6,5,4)
H = (0,5,4)

Bidang ACF dibentuk oleh vektor AC dan AF.
Vektor AC = C - A = (6,5,0)
Vektor AF = F - A = (6,0,4)

Bidang DEG dibentuk oleh vektor DE dan DG.
Vektor DE = E - D = (0,0,4) - (0,5,0) = (0,-5,4)
Vektor DG = G - D = (6,5,4) - (0,5,0) = (6,0,4)

Untuk menunjukkan kedua bidang sejajar, kita perlu menunjukkan bahwa vektor normal kedua bidang adalah sejajar (yaitu, satu adalah kelipatan skalar dari yang lain) atau bahwa kedua bidang memiliki vektor arah yang sama.

Cara lain adalah menunjukkan bahwa vektor AC sejajar dengan vektor DG, dan vektor AF sejajar dengan vektor DE (atau sebaliknya).

Periksa kesamaan vektor:
Vektor AC = (6,5,0)
Vektor DG = (6,0,4)
Kedua vektor ini tidak sejajar.

Vektor AF = (6,0,4)
Vektor DE = (0,-5,4)
Kedua vektor ini juga tidak sejajar.

Mari kita periksa definisi bidang sejajar. Dua bidang sejajar jika garis potongnya sejajar. Atau, jika vektor normalnya sejajar.

Hitung vektor normal bidang ACF (N1) dengan perkalian silang AC x AF:
N1 = AC x AF = (6,5,0) x (6,0,4)
N1 = ((5*4 - 0*0), (0*6 - 6*4), (6*0 - 5*6))
N1 = (20, -24, -30)

Hitung vektor normal bidang DEG (N2) dengan perkalian silang DE x DG:
N2 = DE x DG = (0,-5,4) x (6,0,4)
N2 = ((-5*4 - 4*0), (4*6 - 0*4), (0*0 - (-5)*6))
N2 = (-20, 24, 30)

Perhatikan bahwa N2 = -1 * N1. Karena vektor normal kedua bidang adalah kelipatan skalar satu sama lain (N2 = -N1), maka kedua bidang tersebut sejajar.

Penjelasan menggunakan Dalil 12 (asumsi Dalil 12 merujuk pada konsep kesegaris-sejajaran dalam geometri ruang):
Bidang ACF sejajar dengan bidang DEG jika:
1. Setiap garis pada bidang ACF sejajar dengan bidang DEG.
2. Atau, jika dua garis yang berpotongan pada bidang ACF sejajar dengan dua garis yang berpotongan pada bidang DEG.

Kita sudah membuktikan kesegaris-sejajaran bidang menggunakan vektor normal. Cara lain adalah menunjukkan bahwa:
- Garis AC sejajar dengan garis DG (ini tidak benar dari perhitungan vektor di atas).
- Garis AF sejajar dengan garis DE (ini juga tidak benar).

Namun, kita bisa melihat bahwa:
- Vektor AB sejajar dengan vektor DC dan HG dan EF.
- Vektor AD sejajar dengan vektor BC dan EH dan FG.
- Vektor AE sejajar dengan vektor BF dan CG dan DH.

Bidang ACF memiliki vektor arah AC dan AF.
Bidang DEG memiliki vektor arah DE dan DG.

Perhatikan bahwa vektor AC = vektor AB + vektor BC. Karena ABCD adalah persegi panjang, vektor AB = vektor DC.
Vektor AF = vektor AE + vektor EF. Karena ABFE adalah persegi panjang, vektor EF = vektor AB.

Bidang ACF ditentukan oleh titik A, C, F.
Bidang DEG ditentukan oleh titik D, E, G.

Kita tahu bahwa:
AD sejajar BC
AE sejajar DH
AB sejajar DC

Perhatikan segitiga ACF. Vektor AC dan AF.
Perhatikan segitiga DEG. Vektor DE dan DG.

DE sejajar AB.
DG = DC + CG = DC + AE.

Karena ABCD adalah persegi panjang, AB sejajar DC. Dan AD sejajar BC.
Karena ABFE adalah persegi panjang, AE sejajar BF.

Perhatikan vektor DG = vektor DC + vektor CG. Karena DC sejajar AB, dan CG sejajar AE, maka vektor DG dibentuk oleh arah yang sejajar dengan AB dan AE.

Bidang ACF dibentuk oleh vektor AB (melalui AC) dan vektor AE (melalui AF).
Bidang DEG dibentuk oleh vektor AE (melalui DE) dan vektor AB (melalui DG).

Lebih tepatnya, lihat vektor arahnya:
Vektor AC = AB + BC = AB + AD (karena ABCD persegi panjang)
Vektor AF = AB + AE

Vektor DE = AE
Vektor DG = DC + CG = AB + AE

Jadi, vektor yang membentuk bidang ACF adalah (AB + AD) dan (AB + AE).
Vektor yang membentuk bidang DEG adalah AE dan (AB + AE).

Ini masih belum menunjukkan kesamaan. Mari kembali ke vektor normal.
N1 = (20, -24, -30)
N2 = (-20, 24, 30)
Karena N2 = -N1, kedua vektor normal sejajar, sehingga kedua bidang sejajar. Pembuktian ini valid.