Perhatikan gambar berikut. Ilustrator: Arif Nursahid Nilai

720

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 30x + 15y dari daerah yang diarsir, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah tersebut. Dari gambar yang dilampirkan (meskipun tidak terlihat di sini, kita asumsikan titik-titik pojoknya adalah (0,0), (6,0), (0,12), dan titik potong antara garis x=6 dan y=8, yang mana dari konteks soal sepertinya adalah titik (6,8) dan titik potong antara garis y=8 dan x=0, yang mana dari konteks soal sepertinya adalah titik (0,8) dan titik potong antara garis x=6 dan y=0, yang mana dari konteks soal sepertinya adalah titik (6,0) dan titik potong antara garis y=12 dan x=0, yang mana dari konteks soal sepertinya adalah titik (0,12) dan titik potong antara garis y=8 dan x=6, yang mana dari konteks soal sepertinya adalah titik (6,8)), mari kita tentukan titik pojok yang relevan.

Berdasarkan informasi pada soal, daerah yang diarsir memiliki titik-titik pojok potensial:
1. Titik potong sumbu x dan y: (0, 0)
2. Titik potong garis x=6 dengan sumbu x: (6, 0)
3. Titik potong garis y=12 dengan sumbu y: (0, 12)
4. Titik potong garis x=6 dengan garis yang melalui (0,8) dan (18,0). Persamaan garis ini adalah (y-0)/(8-0) = (x-18)/(0-18) => y/8 = (x-18)/(-18) => -18y = 8x - 144 => 8x + 18y = 144 => 4x + 9y = 72. Jika x=6, maka 4(6) + 9y = 72 => 24 + 9y = 72 => 9y = 48 => y = 48/9 = 16/3. Jadi titiknya adalah (6, 16/3).
5. Titik potong garis y=8 dengan garis yang melalui (0,12) dan (6,0). Persamaan garis ini adalah (y-0)/(12-0) = (x-6)/(0-6) => y/12 = (x-6)/(-6) => -6y = 12x - 72 => 12x + 6y = 72 => 2x + y = 12. Jika y=8, maka 2x + 8 = 12 => 2x = 4 => x = 2. Jadi titiknya adalah (2, 8).

Namun, dari pilihan nilai X dan Y yang diberikan (X=6, 18 dan Y=8, 12), sepertinya ada penyederhanaan atau interpretasi lain dari daerah yang diarsir.
Jika kita mengasumsikan daerah yang diarsir dibatasi oleh x=0, y=0, x=6, dan y=8, maka titik pojoknya adalah (0,0), (6,0), (0,8), dan (6,8).
Mari kita evaluasi f(x, y) = 30x + 15y di titik-titik pojok ini:
- f(0, 0) = 30(0) + 15(0) = 0
- f(6, 0) = 30(6) + 15(0) = 180
- f(0, 8) = 30(0) + 15(8) = 120
- f(6, 8) = 30(6) + 15(8) = 180 + 120 = 300

Jika daerah yang diarsir dibatasi oleh x=0, y=0, x=18, dan y=12, maka titik pojoknya adalah (0,0), (18,0), (0,12), dan (18,12).
- f(0, 0) = 0
- f(18, 0) = 30(18) + 15(0) = 540
- f(0, 12) = 30(0) + 15(12) = 180
- f(18, 12) = 30(18) + 15(12) = 540 + 180 = 720

Jika kita melihat batasan yang lebih spesifik dari nilai X dan Y yang diberikan, yaitu X=6 dan Y=8, serta kemungkinan batasan lain dari soal aslinya yang tidak disertakan sepenuhnya, mari kita pertimbangkan titik-titik yang mungkin menjadi batasan:
Asumsikan daerah yang dibatasi oleh x=0, y=0, x=6, dan sebuah garis yang memotong sumbu y di 12 dan sumbu x di 18. Persamaan garis ini: y - 0 = (12-0)/(0-18) * (x - 18) => y = (-12/18)(x-18) => y = (-2/3)(x-18) => 3y = -2x + 36 => 2x + 3y = 36.
Titik potong x=6 dengan garis ini: 2(6) + 3y = 36 => 12 + 3y = 36 => 3y = 24 => y = 8. Jadi titiknya adalah (6, 8).

Sekarang, kita punya titik-titik pojok (0,0), (6,0), (0,12), dan (6,8).
Evaluasi f(x, y) = 30x + 15y:
- f(0, 0) = 0
- f(6, 0) = 30(6) + 15(0) = 180
- f(0, 12) = 30(0) + 15(12) = 180
- f(6, 8) = 30(6) + 15(8) = 180 + 120 = 300

Nilai maksimumnya adalah 300.
Namun, jika kita menganggap batasan yang berbeda, misalnya dibatasi oleh garis y=8 dan x=18, dan sumbu x dan y.
Titik pojok: (0,0), (18,0), (0,8), (18,8).
Evaluasi f(x, y) = 30x + 15y:
- f(0, 0) = 0
- f(18, 0) = 30(18) + 15(0) = 540
- f(0, 8) = 30(0) + 15(8) = 120
- f(18, 8) = 30(18) + 15(8) = 540 + 120 = 660

Melihat nilai X dan Y pada soal (X=6, 18 dan Y=8, 12), dan konteks umum soal program linear, kemungkinan daerah yang diarsir dibatasi oleh x=0, y=0, x=18, dan garis yang memotong sumbu y di 12 dan sumbu x di 6. Persamaan garis ini: y-0 = (12-0)/(0-6) * (x-6) => y = (-12/6)(x-6) => y = -2(x-6) => y = -2x + 12 => 2x + y = 12.
Titik pojok: (0,0), (6,0), (0,12). Titik potong x=18 dengan garis y=0 adalah (18,0), tapi x=18 tidak memenuhi 2x+y=12 jika y>=0. Titik potong y=12 dengan garis x=0 adalah (0,12), sudah masuk. Titik potong 2x+y=12 dengan x=6: 2(6)+y=12 => 12+y=12 => y=0. Jadi titiknya (6,0).
Titik potong 2x+y=12 dengan y=8: 2x+8=12 => 2x=4 => x=2. Jadi titiknya (2,8).

Dengan batasan x=0, y=0, x=6, y=8, dan 2x+3y=36 (garis melalui (6,16/3) dan (0,12) dan (18,0), ini salah)

Mari kita asumsikan batasan yang paling mungkin dari nilai X dan Y yang diberikan:
X = 6, Y = 8 adalah koordinat titik pojok.
Jika X=18 dan Y=12 adalah batas maksimum x dan y, atau merupakan titik lain yang relevan.

Jika titik pojoknya adalah (0,0), (6,0), (0,8), (6,8):
Nilai maksimum f(x,y) = 30x+15y adalah 300 di titik (6,8).

Jika titik pojoknya adalah (0,0), (18,0), (0,12), (18,12):
Nilai maksimum f(x,y) = 30x+15y adalah 720 di titik (18,12).

Karena ada nilai X=6 dan Y=8 yang disebutkan secara spesifik, dan juga X=18, Y=12, ada kemungkinan daerah yang diarsir dibatasi oleh beberapa garis yang melibatkan nilai-nilai ini.

Asumsikan daerah dibatasi oleh:
x >= 0, y >= 0
x <= 6
y <= 8
dan sebuah garis yang membatasi lebih lanjut.

Jika soal mengacu pada nilai maksimum pada titik-titik yang diberikan, maka:
- f(6,8) = 30(6) + 15(8) = 180 + 120 = 300
- f(18,0) = 30(18) + 15(0) = 540
- f(0,12) = 30(0) + 15(12) = 180
- f(6,12) = 30(6) + 15(12) = 180 + 180 = 360
- f(18,8) = 30(18) + 15(8) = 540 + 120 = 660
- f(18,12) = 30(18) + 15(12) = 540 + 180 = 720

Tanpa gambar yang jelas, sulit untuk menentukan daerah yang diarsir dengan pasti. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa titik (18,12) adalah salah satu titik pojok yang sah dan merupakan titik yang memberikan nilai tertinggi berdasarkan beberapa batasan yang mungkin,
maka nilai maksimumnya adalah 720.