Perhatikan gambar berikut. Titik P terletak pada AB

Vektor OP = 1/4 a + 3/4 b

Pembahasan

Misalkan vektor posisi titik O adalah vektor nol.
Misalkan vektor posisi titik A adalah **a** dan vektor posisi titik B adalah **b**.

P terletak pada AB sehingga AP:AB = 3:4.
Ini berarti AP = (3/4)AB.

Vektor posisi P (**p**) dapat dihitung menggunakan rumus vektor pembagian ruas garis:
**p** = (1 - t)**a** + t**b**, di mana t = AP/AB.
Dalam kasus ini, AP/AB = 3/4.
Jadi, **p** = (1 - 3/4)**a** + (3/4)**b**
**p** = (1/4)**a** + (3/4)**b**

Vektor OP adalah vektor posisi P, yaitu **OP** = **p**.
Jadi, vektor OP = (1/4)**a** + (3/4)**b**.

*Catatan: Soal menyebutkan "Titik P terletak pada AB sehingga AP:AB=3:4". Ini berarti P membagi garis AB dengan perbandingan 3:1 (AP:PB = 3:1). Jika yang dimaksud adalah AP:PB = 3:4, maka AP:AB = 3:(3+4) = 3:7.
Jika AP:PB = 3:4, maka t = AP/AB = 3/7.
**p** = (1 - 3/7)**a** + (3/7)**b**
**p** = (4/7)**a** + (3/7)**b**

Namun, berdasarkan format soal yang umum, "AP:AB=3:4" biasanya berarti AP adalah 3 bagian dari total 4 bagian AB. Ini mengimplikasikan P membagi AB sedemikian rupa sehingga panjang AP adalah 3/4 dari panjang AB. Jika A adalah titik awal dan B adalah titik akhir, maka P berada di antara A dan B.

Mari kita asumsikan bahwa A dan B adalah titik-titik dengan vektor posisi **a** dan **b** relatif terhadap O.
Jika P terletak pada garis AB, maka vektor posisi P, **OP**, dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari **a** dan **b**.

Diketahui AP : AB = 3 : 4.
Ini berarti P membagi segmen garis AB.
Jika A adalah titik awal, maka $\vec{AP} = \frac{3}{4} \vec{AB}$.
$\\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$.
$\\vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA} = \mathbf{p} - \mathbf{a}$.

Jadi, $\mathbf{p} - \mathbf{a} = \frac{3}{4}(\mathbf{b} - \mathbf{a})$.
$\\mathbf{p} = \mathbf{a} + \frac{3}{4}(\mathbf{b} - \mathbf{a})$.
$\\mathbf{p} = \mathbf{a} + \frac{3}{4}\mathbf{b} - \frac{3}{4}\mathbf{a}$.
$\\mathbf{p} = (1 - \frac{3}{4})\mathbf{a} + \frac{3}{4}\mathbf{b}$.
$\\mathbf{p} = \frac{1}{4}\mathbf{a} + \frac{3}{4}\mathbf{b}$.

Vektor OP adalah $\mathbf{p}$.
Jadi, vektor OP = $\frac{1}{4}\mathbf{a} + \frac{3}{4}\mathbf{b}$.

Soal juga menyebutkan "Titik Q terletak pada OC sehingga OQ:QC=2:3". Informasi ini tidak relevan untuk mencari vektor OP. Ini mungkin bagian dari soal yang lebih besar atau informasi tambahan.

Berdasarkan informasi yang diberikan, vektor OP adalah $\frac{1}{4}\mathbf{a} + \frac{3}{4}\mathbf{b}$.