Perhatikan gambar berikut! Y 8 5 O 4 10 Daerah yang diarsir

Sistem pertidaksamaan: 2x+y<=8, x+2y<=10, x>=0, y>=0. Nilai minimum f(x,y) adalah 0.

Pembahasan

Untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear dari daerah yang diarsir pada gambar, kita perlu menganalisis garis-garis batas yang membentuk daerah tersebut.

Asumsi: Gambar menunjukkan sebuah daerah yang dibatasi oleh garis-garis yang melalui titik-titik pada sumbu koordinat.

Garis 1 (melalui (0, 8) dan (4, 0)):
Gradien (m) = (0 - 8) / (4 - 0) = -8 / 4 = -2
Persamaan garis: y - y1 = m(x - x1)
y - 0 = -2(x - 4)
y = -2x + 8
2x + y = 8
Karena daerah diarsir berada di bawah garis ini dan menyentuh sumbu x positif, pertidaksamaannya adalah 2x + y <= 8.

Garis 2 (melalui (0, 5) dan (10, 0)):
Gradien (m) = (0 - 5) / (10 - 0) = -5 / 10 = -1/2
Persamaan garis: y - y1 = m(x - x1)
y - 0 = -1/2(x - 10)
y = -1/2x + 5
2y = -x + 10
x + 2y = 10
Karena daerah diarsir berada di bawah garis ini dan menyentuh sumbu y positif, pertidaksamaannya adalah x + 2y <= 10.

Garis 3 (sumbu y positif): x >= 0
Garis 4 (sumbu x positif): y >= 0

Jadi, sistem pertidaksamaan linear yang memenuhi daerah yang diarsir adalah:
1. 2x + y <= 8
2. x + 2y <= 10
3. x >= 0
4. y >= 0

Selanjutnya, kita akan menentukan nilai minimum dari fungsi tujuan f(x,y) = 12x + 7y pada daerah yang dibatasi oleh sistem pertidaksamaan linear tersebut. Nilai minimum atau maksimum fungsi tujuan pada program linear terjadi pada titik-titik pojok daerah yang layak (feasible region).

Titik-titik pojok adalah perpotongan garis-garis batas:

A. Perpotongan sumbu y (x=0) dengan garis 2x + y = 8:
2(0) + y = 8 => y = 8. Titik A = (0, 8).

B. Perpotongan sumbu x (y=0) dengan garis x + 2y = 10:
x + 2(0) = 10 => x = 10. Titik B = (10, 0).

C. Perpotongan garis 2x + y = 8 dan x + 2y = 10:
Dari 2x + y = 8, kita dapatkan y = 8 - 2x.
Substitusikan ke persamaan kedua:
x + 2(8 - 2x) = 10
x + 16 - 4x = 10
-3x = 10 - 16
-3x = -6
x = 2

Substitusikan x = 2 kembali ke y = 8 - 2x:
y = 8 - 2(2)
y = 8 - 4
y = 4.
Titik C = (2, 4).

D. Titik pojok lainnya adalah perpotongan sumbu x dan y, yaitu (0,0). Namun, dari gambar, daerah yang diarsir dimulai dari sumbu x dan y, jadi kita perlu titik pojok yang dibentuk oleh garis-garis batas.
Titik pojok yang relevan adalah (0,0), (4,0), (2,4), dan (0,5).

Mari kita evaluasi fungsi tujuan f(x,y) = 12x + 7y pada titik-titik pojok ini:

1. Titik (0, 0):
f(0, 0) = 12(0) + 7(0) = 0

2. Titik (4, 0) (perpotongan 2x+y=8 dengan y=0):
f(4, 0) = 12(4) + 7(0) = 48

3. Titik (2, 4) (perpotongan 2x+y=8 dan x+2y=10):
f(2, 4) = 12(2) + 7(4) = 24 + 28 = 52

4. Titik (0, 5) (perpotongan x+2y=10 dengan x=0):
f(0, 5) = 12(0) + 7(5) = 35

Berdasarkan perhitungan di atas:
Nilai minimum dari fungsi tujuan f(x,y) = 12x + 7y adalah 0, yang terjadi pada titik (0, 0).

Namun, jika daerah yang diarsir adalah daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh garis-garis tersebut, maka titik pojok yang relevan adalah (0,0), (4,0), (2,4), dan (0,5).
Mari kita periksa ulang titik-titik pojok yang membentuk daerah yang diarsir pada gambar.
Berdasarkan deskripsi dan pertanyaan, sepertinya titik-titik pojok yang perlu diuji adalah perpotongan garis-garis pembatas:
- Perpotongan sumbu-x dan sumbu-y: (0,0)
- Perpotongan garis 2x+y=8 dengan sumbu-x (y=0): 2x=8 -> x=4. Titik (4,0).
- Perpotongan garis x+2y=10 dengan sumbu-y (x=0): 2y=10 -> y=5. Titik (0,5).
- Perpotongan garis 2x+y=8 dan x+2y=10: ditemukan titik (2,4).

Evaluasi ulang f(x,y) = 12x + 7y pada titik-titik pojok yang tepat:

1. Titik (0, 0): f(0,0) = 12(0) + 7(0) = 0
2. Titik (4, 0): f(4,0) = 12(4) + 7(0) = 48
3. Titik (2, 4): f(2,4) = 12(2) + 7(4) = 24 + 28 = 52
4. Titik (0, 5): f(0,5) = 12(0) + 7(5) = 35

Nilai minimum dari fungsi tujuan f(x,y) = 12x + 7y adalah 0.