Diketahui a, a+b, a+5b merupakan 3 suku pertama suatu

Suku ke-10 barisan aritmetika adalah -14.

Pembahasan

Barisan geometri memiliki rasio yang konstan antara suku-suku berurutan. Diketahui barisan geometri a, a+b, a+5b. Maka rasio r = (a+b)/a = (a+5b)/(a+b).
(a+b)^2 = a(a+5b)
a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 5ab
b^2 = 3ab
Karena a bukan nol (karena suku pertama barisan), kita bisa membagi kedua sisi dengan a: b^2/a = 3b. Jika b bukan nol, maka b/a = 3, sehingga rasio r=3.
Jika b=0, maka barisan menjadi a, a, a, yang merupakan barisan geometri dengan rasio 1. Tapi jika b=0, maka a, a, a, a, a adalah barisan aritmetika dengan beda 0. x+y+z = -15. Karena a, a+b, z, y, x adalah barisan aritmetika (dengan asumsi urutan tersebut), maka a, a, z, y, x. Beda barisan aritmetika adalah 0. z=a, y=a, x=a. Maka a+a+a = -15, 3a = -15, a = -5. Suku ke-10 adalah -5.
Jika a, a+b, z, y, x adalah barisan aritmetika dengan beda d. Maka a+b = a+d, jadi d=b. Suku-sukunya adalah a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d. Jadi a, a+d, z, y, x.
Maka z = a+2d, y = a+3d, x = a+4d.
Barisan geometri adalah a, a+d, a+5d. Maka rasio r = (a+d)/a = (a+5d)/(a+d).
(a+d)^2 = a(a+5d)
a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 5ad
d^2 = 3ad
Karena a bukan nol, d^2/a = 3d. Jika d bukan nol, d/a = 3, jadi d=3a.
Barisan aritmetikanya adalah a, a+3a, a+6a, a+9a, a+12a, yaitu a, 4a, 7a, 10a, 13a. Maka z=7a, y=10a, x=13a. x+y+z = 13a+10a+7a = 30a = -15. Maka a = -15/30 = -1/2.
Suku ke-10 barisan aritmetika adalah a + 9d = a + 9(3a) = a + 27a = 28a = 28(-1/2) = -14.

Asumsi bahwa a, a+b, z, y, x adalah 5 suku pertama barisan aritmetika. Suku ke-2 adalah a+b. Suku ke-1 adalah a. Maka beda barisan aritmetika adalah b. Suku-sukunya adalah a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b. Jadi z=a+2b, y=a+3b, x=a+4b. x+y+z = (a+4b) + (a+3b) + (a+2b) = 3a+9b = -15, atau a+3b = -5.
Barisan geometri adalah a, a+b, a+5b. Rasio r = (a+b)/a = (a+5b)/(a+b).
(a+b)^2 = a(a+5b)
a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 5ab
b^2 = 3ab.
Jika a = 0, maka barisan geometri adalah 0, b, 5b. Agar menjadi barisan geometri, maka b=0 atau 5b=0, yang berarti b=0. Barisan geometri menjadi 0, 0, 0. Barisan aritmetika menjadi 0, 0, z, y, x. Maka z=0, y=0, x=0. x+y+z=0 tidak sama dengan -15. Jadi a tidak sama dengan 0.
Karena a tidak sama dengan 0, kita bisa membagi dengan a. b^2/a = 3b. Jika b=0, maka a, a, a adalah barisan geometri. Barisan aritmetika menjadi a, a, z, y, x. Beda barisan aritmetika adalah 0. Maka z=a, y=a, x=a. x+y+z = 3a = -15, a = -5. Suku ke-10 barisan aritmetika adalah -5.
Jika b tidak sama dengan 0, kita bisa membagi dengan b. b/a = 3. Maka b = 3a.
Substitusikan b=3a ke dalam a+3b = -5.
a + 3(3a) = -5
a + 9a = -5
10a = -5
a = -1/2.
Beda barisan aritmetika adalah b = 3a = 3(-1/2) = -3/2.
Suku ke-10 barisan aritmetika adalah a + 9b = -1/2 + 9(-3/2) = -1/2 - 27/2 = -28/2 = -14.