Perhatikan gambar di samping. Sebuah persegi disisipkan ke

3√3 : 2

Pembahasan

Misalkan sisi persegi adalah s dan jari-jari lingkaran adalah r. Karena persegi disisipkan ke dalam lingkaran, diagonal persegi sama dengan diameter lingkaran, yaitu 2r. Menggunakan teorema Pythagoras pada persegi, $s^2 + s^2 = (2r)^2$, sehingga $2s^2 = 4r^2$, atau $s^2 = 2r^2$.

Sekarang, mari kita pertimbangkan segitiga sama sisi. Misalkan sisi segitiga sama sisi adalah a. Lingkaran yang berada di dalam segitiga sama sisi adalah lingkaran dalam (incircle). Jari-jari lingkaran dalam (r) dari segitiga sama sisi dengan sisi a adalah $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Luas segitiga sama sisi adalah $L_{segitiga} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$. Dari hubungan jari-jari lingkaran dalam, kita bisa nyatakan a dalam r: $a = 2r\sqrt{3}$.

Maka, luas segitiga menjadi $L_{segitiga} = \frac{\sqrt{3}}{4}(2r\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(4r^2 \cdot 3) = \frac{\sqrt{3}}{4}(12r^2) = 3\sqrt{3}r^2$.

Luas persegi adalah $L_{persegi} = s^2$. Kita sudah menemukan bahwa $s^2 = 2r^2$. Jadi, $L_{persegi} = 2r^2$.

Perbandingan antara luas segitiga dengan luas persegi adalah:
$\frac{L_{segitiga}}{L_{persegi}} = \frac{3\sqrt{3}r^2}{2r^2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Jadi, perbandingan luas segitiga dengan luas persegi adalah 3√3 : 2.