Perhatikan gambar kubus berikut! Titik A terletak di tengan

$4\sqrt{3}$ cm

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menghitung jarak antara titik A (di tengah garis QS) dan bidang LRN pada sebuah kubus dengan panjang rusuk 12 cm. Perlu diperhatikan bahwa koordinat titik-titik dan orientasi bidang harus ditentukan terlebih dahulu berdasarkan penamaan titik-titik pada kubus (KLMN PQRS). Asumsikan KLMN adalah sisi atas dan PQRS adalah sisi bawah, dengan K di atas P, L di atas Q, M di atas R, dan N di atas S. Maka, QS adalah diagonal sisi alas. Titik A berada di tengah diagonal alas QS. Bidang LRN dibentuk oleh titik L, R, dan N. 

Untuk menentukan jarak titik ke bidang, kita perlu mencari vektor normal bidang dan persamaan bidang tersebut. 

Namun, tanpa informasi yang lebih spesifik mengenai penempatan titik-titik pada kubus dan orientasi bidang LRN, serta posisi titik A, perhitungan jarak yang akurat tidak dapat dilakukan. 

Jika kita mengasumsikan kubus berada pada sistem koordinat Kartesius dengan P=(0,0,0), Q=(12,0,0), R=(12,12,0), S=(0,12,0), K=(0,0,12), L=(12,0,12), M=(12,12,12), N=(0,12,12), maka:

*   Titik Q = (12,0,0), S = (0,12,0)
*   Titik A (tengah QS) = (($12+0)/2$, ($0+12)/2$, ($0+0)/2$) = (6, 6, 0)
*   Titik L = (12,0,12), R = (12,12,0), N = (0,12,12)

Persamaan bidang LRN dapat dicari dengan mencari dua vektor di bidang tersebut, misalnya LR dan LN, lalu mencari vektor normalnya dengan perkalian silang.
*   $ \vec{LR} = R - L = (12-12, 12-0, 0-12) = (0, 12, -12) $
*   $ \vec{LN} = N - L = (0-12, 12-0, 12-12) = (-12, 12, 0) $

Vektor normal $ n = \vec{LR} \times \vec{LN} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 12 & -12 \\ -12 & 12 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - (-144)) - j(0 - 144) + k(0 - (-144)) = 144i + 144j + 144k = 144(1, 1, 1) $. 
Kita bisa gunakan $ n = (1, 1, 1) $ sebagai vektor normal.

Persamaan bidang LRN yang melalui L(12,0,12) adalah: $ 1(x-12) + 1(y-0) + 1(z-12) = 0 $ => $ x - 12 + y + z - 12 = 0 $ => $ x + y + z - 24 = 0 $.

Jarak titik A(6,6,0) ke bidang $x+y+z-24=0$ adalah:
$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{|1(6) + 1(6) + 1(0) - 24|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|6 + 6 + 0 - 24|}{\sqrt{3}} = \frac{|-12|}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} $ cm.