Kelas 11Kelas 12mathKalkulus
Perhatikan gambar Sebuah mercusuar berjarak 1 km dari garis
Pertanyaan
Perhatikan gambar Sebuah mercusuar berjarak 1 km dari garis pantai. Jarak titik cahaya dari mercusuar (y) bergeser 5 km per menit. titik cahaya garis pantai 1 km y x theta mercusuar Kecepatan titik cahaya (dx/dt) saat theta=30 adalah ....
Solusi
Verified
Kecepatan titik cahaya adalah 2.5 km/menit
Pembahasan
Soal ini berkaitan dengan konsep laju perubahan dalam kalkulus, khususnya turunan. Kita diberikan informasi bahwa sebuah mercusuar berjarak 1 km dari garis pantai. Titik cahaya dari mercusuar (y) bergeser 5 km per menit. Kita perlu mencari kecepatan titik cahaya (dx/dt) saat sudut theta = 30 derajat. Dari gambar (yang diasumsikan sebagai segitiga siku-siku dengan mercusuar sebagai salah satu sudut siku-siku), kita memiliki: Jarak mercusuar ke pantai (satu sisi) = 1 km Jarak titik cahaya dari garis pantai = y Jarak titik cahaya dari mercusuar = x Sudut antara garis pantai dan garis ke titik cahaya = theta Hubungan trigonometri yang relevan adalah: 1. tan(theta) = y / 1 => y = tan(theta) 2. cos(theta) = 1 / x => x = 1 / cos(theta) = sec(theta) Kita diberitahu bahwa y bergeser 5 km per menit, yang berarti dy/dt = 5 km/menit. Kita perlu mencari dx/dt saat theta = 30 derajat. Mari kita turunkan hubungan y = tan(theta) terhadap waktu (t): dy/dt = d(tan(theta))/dt dy/dt = sec^2(theta) * d(theta)/dt Kita tahu dy/dt = 5, jadi: 5 = sec^2(theta) * d(theta)/dt d(theta)/dt = 5 / sec^2(theta) = 5 cos^2(theta) Sekarang, mari kita turunkan hubungan x = sec(theta) terhadap waktu (t): dx/dt = d(sec(theta))/dt dx/dt = sec(theta) * tan(theta) * d(theta)/dt Substitusikan nilai d(theta)/dt yang kita temukan: dx/dt = sec(theta) * tan(theta) * (5 cos^2(theta)) Kita tahu bahwa sec(theta) = 1/cos(theta) dan tan(theta) = sin(theta)/cos(theta). Jadi, dx/dt = (1/cos(theta)) * (sin(theta)/cos(theta)) * (5 cos^2(theta)) dx/dt = (sin(theta) / cos^2(theta)) * (5 cos^2(theta)) dx/dt = 5 sin(theta) Sekarang, kita perlu mencari dx/dt saat theta = 30 derajat. Nilai sin(30 derajat) = 1/2. dx/dt = 5 * sin(30) dx/dt = 5 * (1/2) dx/dt = 2.5 Jadi, kecepatan titik cahaya (dx/dt) saat theta = 30 derajat adalah 2.5 km/menit.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Laju Yang Berkaitan
Section: Aplikasi Turunan
Apakah jawaban ini membantu?