Tentukan nilai limit x mendekati tak hingga (4sin 4/x tan

Nilai limitnya adalah -8.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari ekspresi $\frac{4\sin\frac{4}{x} \tan\frac{4}{x}}{\cos\frac{4}{x}-1}$ ketika x mendekati tak hingga, kita bisa melakukan substitusi. Misalkan $y = \frac{4}{x}$. Ketika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. Ekspresi tersebut menjadi $\frac{4\sin y \tan y}{\cos y - 1}$.

Kita tahu bahwa $\tan y = \frac{\sin y}{\cos y}$. Jadi, ekspresi tersebut menjadi $\frac{4\sin y \frac{\sin y}{\cos y}}{\cos y - 1} = \frac{4\sin^2 y}{\cos y(\cos y - 1)}$.

Kita juga tahu identitas trigonometri $\cos y - 1 = -2\sin^2(\frac{y}{2})$ dan $\sin y \approx y$ ketika $y \to 0$. Maka, $\sin^2 y \approx y^2$.

Substitusikan kembali ke dalam ekspresi:
$\frac{4y^2}{\cos y(-2\sin^2(\frac{y}{2}))}$.

Karena $\sin(\frac{y}{2}) \approx \frac{y}{2}$, maka $\sin^2(\frac{y}{2}) \approx (\frac{y}{2})^2 = \frac{y^2}{4}$.

Jadi, ekspresi menjadi $\frac{4y^2}{\cos y(-2(\frac{y^2}{4}))} = \frac{4y^2}{\cos y(-rac{y^2}{2})}$.

Saat $y \to 0$, $\cos y \to 1$. Maka limitnya adalah $\frac{4}{-1 \times \frac{1}{2}} = \frac{4}{-\frac{1}{2}} = -8$.

Jadi, nilai limitnya adalah -8.