Perhatikan gambar segitiga berikut dengan saksama! Jika

Segitiga ABD sebangun dengan segitiga AEC

Pembahasan

Untuk menentukan pasangan segitiga yang sebangun berdasarkan informasi yang diberikan, kita perlu menganalisis sifat-sifat segitiga dan sudut-sudut yang terbentuk.

Diketahui:
*   CE tegak lurus AB (∠CEA = ∠CEB = 90°)
*   BD tegak lurus AC (∠BDA = ∠BDC = 90°)

Mari kita analisis setiap pasangan yang diberikan:

a.  **Segitiga AEC dengan Segitiga BEC:**
    *   Segitiga AEC memiliki sudut ∠A, ∠AEC = 90°, dan ∠ACE.
    *   Segitiga BEC memiliki sudut ∠B, ∠BEC = 90°, dan ∠BCE.
    *   Kedua segitiga ini memiliki sudut siku-siku yang sama (∠AEC = ∠BEC = 90°).
    *   Namun, untuk sebangun, mereka memerlukan dua pasang sudut yang sama. Kita tidak bisa langsung menyimpulkan bahwa ∠A = ∠B atau ∠ACE = ∠BCE tanpa informasi tambahan.
    *   Jika segitiga ABC sama kaki dengan AB=AC, maka ∠B = ∠C. Dalam kasus itu, segitiga AEC dan BEC akan sebangun jika ∠ACE = ∠B.
    *   Secara umum, tanpa informasi tambahan tentang segitiga ABC, pasangan ini belum tentu sebangun.

b.  **Segitiga ABD dengan Segitiga AEC:**
    *   Segitiga ABD memiliki sudut ∠A, ∠ADB = 90°, dan ∠ABD.
    *   Segitiga AEC memiliki sudut ∠A, ∠AEC = 90°, dan ∠ACE.
    *   Kedua segitiga ini sama-sama memiliki sudut ∠A dan sudut siku-siku (∠ADB = ∠AEC = 90°). Ini berarti sudut ketiga mereka juga sama (∠ABD = ∠ACE).
    *   Oleh karena itu, berdasarkan kriteria kesebangunan Sudut-Sudut-Sudut (SSS) atau Sudut-Sudut (AA), segitiga ABD sebangun dengan segitiga AEC.

c.  **Segitiga BDC dengan Segitiga ABD:**
    *   Segitiga BDC memiliki sudut ∠C, ∠BDC = 90°, dan ∠CBD (atau ∠ABC).
    *   Segitiga ABD memiliki sudut ∠A, ∠BDA = 90°, dan ∠BAD (atau ∠BAC).
    *   Kita tahu ∠BDC = ∠BDA = 90°.
    *   Untuk sebangun, kita perlu ∠C = ∠A atau ∠CBD = ∠BAD. Ini hanya berlaku jika segitiga ABC memiliki sifat-sifat khusus (misalnya, segitiga siku-siku).
    *   Secara umum, pasangan ini belum tentu sebangun.

d.  **Segitiga BEC dengan Segitiga BDC:**
    *   Segitiga BEC memiliki sudut ∠BCE, ∠BEC = 90°, dan ∠EBC (atau ∠ABC).
    *   Segitiga BDC memiliki sudut ∠BCD (atau ∠BCA), ∠BDC = 90°, dan ∠DBC (atau ∠ABC).
    *   Kedua segitiga ini memiliki sudut siku-siku yang sama (∠BEC = ∠BDC = 90°).
    *   Mereka juga berbagi sudut ∠ABC (∠EBC = ∠DBC).
    *   Karena dua pasang sudut sama (sudut siku-siku dan ∠ABC), maka sudut ketiga juga sama (∠BCE = ∠BCD).
    *   Oleh karena itu, berdasarkan kriteria kesebangunan Sudut-Sudut-Sudut (SSS) atau Sudut-Sudut (AA), segitiga BEC sebangun dengan segitiga BDC.

Kesimpulan:
Berdasarkan analisis di atas, pasangan segitiga yang pasti sebangun adalah:
*   Segitiga ABD dengan Segitiga AEC (karena keduanya memiliki ∠A dan sudut siku-siku).
*   Segitiga BEC dengan Segitiga BDC (karena keduanya memiliki ∠ABC dan sudut siku-siku).

Karena pilihan 'd. segitiga BEC dengan segitiga BDC' adalah salah satu kemungkinan kesebangunan yang benar, dan pilihan 'b. segitiga ABD dengan segitiga AEC' juga benar, kita perlu memilih salah satu yang paling tepat atau sesuai dengan konteks soal jika ada informasi tambahan yang terlewat.

Dalam konteks soal geometri segitiga seperti ini, seringkali segitiga ABC diasumsikan memiliki sudut-sudut tertentu atau ini adalah soal pilihan ganda yang mengharapkan satu jawaban benar.

Mari kita periksa lagi opsi b dan d.

Opsi b: Segitiga ABD sebangun dengan Segitiga AEC. (∠A = ∠A, ∠ADB = ∠AEC = 90°)
Ini adalah kesebangunan yang benar.

Opsi d: Segitiga BEC sebangun dengan Segitiga BDC. (∠ABC = ∠ABC, ∠BEC = ∠BDC = 90°)
Ini juga kesebangunan yang benar.

Jika kita harus memilih satu, kita perlu melihat apakah ada hubungan antara kedua pasangan ini atau apakah salah satu lebih umum terjadi.

Dalam segitiga ABC, jika kita menarik dua garis tinggi dari B ke AC (BD) dan dari C ke AB (CE), maka segitiga yang terbentuk (ABD, AEC, BDC, BEC) seringkali memiliki hubungan kesebangunan.

Pasangan yang sebangun adalah:
1.  ΔABD ~ ΔACE (Sudut A, Sudut 90°)
2.  ΔBCE ~ ΔBDC (Sudut B, Sudut 90°)
3.  ΔABD ~ ΔCBE (Sudut B, Sudut 90°)
4.  ΔACE ~ ΔBCD (Sudut C, Sudut 90°)

Jadi, baik pilihan b maupun d adalah benar. Namun, jika ini adalah soal pilihan ganda tunggal, ada kemungkinan ada penekanan pada salah satu pasangan.

Mari kita asumsikan pertanyaan ini merujuk pada kesebangunan yang paling langsung terlihat dari diagram atau informasi yang diberikan.

Perhatikan segitiga ABC secara keseluruhan. Jika kita fokus pada segitiga ABD dan AEC:
ΔABD ~ ΔAEC (memiliki sudut A dan sudut siku-siku yang sama).

Perhatikan segitiga ABC dan segitiga BDC:
ΔABC ~ ΔBDC (memiliki sudut C dan sudut siku-siku yang sama).

Perhatikan segitiga ABC dan segitiga BEC:
ΔABC ~ ΔBEC (memiliki sudut B dan sudut siku-siku yang sama).

Dari sini, kita bisa simpulkan:
ΔABD ~ ΔAEC ~ ΔCBD ~ ΔBCE ~ ΔABC

Semua segitiga kecil yang terbentuk oleh garis tinggi dan segitiga utama adalah sebangun satu sama lain.

Oleh karena itu, kedua pasangan yang disebutkan (b dan d) adalah benar.

Dalam banyak sumber, ketika dua garis tinggi ditarik, kesebangunan ΔABD ~ ΔAEC dan ΔBEC ~ ΔBDC adalah yang paling sering disebutkan secara eksplisit.

Karena kita harus memilih satu dari pilihan yang ada, dan keduanya tampak benar, mari kita pilih salah satu yang paling sering muncul dalam konteks ini.

Jika kita memilih 'b. segitiga ABD dengan segitiga AEC', alasannya adalah kesamaan sudut A dan sudut siku-siku.

Jika kita memilih 'd. segitiga BEC dengan segitiga BDC', alasannya adalah kesamaan sudut B dan sudut siku-siku.

Tanpa gambar, sulit untuk memastikan mana yang menjadi fokus. Namun, jika kita mengasumsikan segitiga ABC bukan segitiga siku-siku, maka kesebangunan yang pasti terjadi adalah berdasarkan sudut yang sama yang dibagi oleh garis tinggi.

Misalnya, di ΔABC, ∠A adalah sudut bersama untuk ΔABD dan ΔAEC. ∠ADB = ∠AEC = 90°. Maka ΔABD ~ ΔAEC.

Di ΔABC, ∠B adalah sudut bersama untuk ΔBEC dan ΔABC. ∠BEC = 90°. Maka ΔBEC ~ ΔABC.

Di ΔABC, ∠C adalah sudut bersama untuk ΔBDC dan ΔABC. ∠BDC = 90°. Maka ΔBDC ~ ΔABC.

Sehingga, ΔABD ~ ΔAEC ~ ΔCBD ~ ΔBCE.

Jadi, pasangan 'b. segitiga ABD dengan segitiga AEC' dan 'd. segitiga BEC dengan segitiga BDC' keduanya benar.

Jika ini adalah soal ujian, dan hanya ada satu jawaban yang benar, mungkin ada detail dalam gambar yang tidak disertakan atau konteks tambahan.

Namun, berdasarkan prinsip kesebangunan yang pasti terjadi:

*   ΔABD dan ΔAEC sebangun karena ∠A sama dan ∠ADB = ∠AEC = 90°.
*   ΔBEC dan ΔBDC sebangun karena ∠C sama (jika kita melihat segitiga BDC dan AEC) atau ∠B sama (jika kita melihat segitiga BEC dan ABD) dan sudut siku-siku yang sama.

Mari kita fokus pada ΔBEC dan ΔBDC. Keduanya memiliki sudut siku-siku (∠BEC=90°, ∠BDC=90°). Keduanya berbagi sudut ∠C jika kita melihat ΔADC dan ΔBEC. Tetapi ini tidak tepat.

Mari kita lihat lagi ΔBEC dan ΔBDC:
*   Segitiga BEC: Sudut ∠EBC, ∠BEC=90°, ∠BCE.
*   Segitiga BDC: Sudut ∠DBC, ∠BDC=90°, ∠BCD.

Mereka berbagi sudut ∠BCE = ∠BCD (karena titik E dan D berada pada sisi AC dan AB).
Mereka memiliki sudut siku-siku ∠BEC = ∠BDC = 90°.

Ini berarti sudut ketiga mereka juga sama: ∠EBC = ∠DBC. Ini hanya mungkin jika E dan D adalah titik yang sama atau jika segitiga ABC adalah segitiga sama kaki.

*Ada kekeliruan dalam analisis di atas.* Mari kita ulangi dengan hati-hati.

Kita tahu:
1.  ΔABD dan ΔAEC sebangun (Sudut A, Sudut 90°).
2.  ΔABC ~ ΔACE (Sudut C, Sudut 90°) -> Ini salah, tidak ada sudut C yang sama secara langsung.
3.  ΔABC ~ ΔABD (Sudut B, Sudut 90°) -> Ini salah.

Mari kita gunakan sudut-sudut:
Misalkan ∠ABC = β dan ∠BCA = γ.
Di ΔABD: ∠A, ∠ADB = 90°, ∠ABD = β.
Di ΔAEC: ∠A, ∠AEC = 90°, ∠ACE = γ.
Di ΔBDC: ∠C = γ, ∠BDC = 90°, ∠DBC = β.
Di ΔBEC: ∠B = β, ∠BEC = 90°, ∠BCE = γ.

Sekarang mari kita periksa kesebangunan:

*   **ΔABD vs ΔAEC:**
    *   ∠A = ∠A (sama)
    *   ∠ADB = ∠AEC = 90° (sama)
    *   ∠ABD = ∠ACE (β = γ? Tidak selalu).
    *   Kesimpulan: Sebenarnya, ∠ABD = β dan ∠ACE = γ. Jadi, agar sebangun, kita perlu β = γ atau ∠ABD = ∠ACE. Ini tidak dijamin.
    *   Mari kita lihat sudut yang tersisa:
        *   Di ΔABD: ∠ABD = 90° - ∠A.
        *   Di ΔAEC: ∠ACE = 90° - ∠A.
    *   Jadi, ∠ABD = ∠ACE. Dengan demikian, ΔABD ~ ΔAEC (Sudut A, Sudut 90°, dan sudut ketiga yang sama).
    *   **Ini berarti pilihan b benar.**

*   **ΔBEC vs ΔBDC:**
    *   ∠C = ∠C (sama)
    *   ∠BEC = ∠BDC = 90° (sama)
    *   ∠EBC = ∠DBC (β = β, sama)
    *   Kesimpulan: ΔBEC ~ ΔBDC (Sudut C, Sudut 90°, dan sudut B).
    *   **Ini berarti pilihan d benar.**

Karena kedua pilihan b dan d adalah pasangan segitiga yang sebangun, dan soal meminta untuk memilih salah satu, mari kita periksa kembali soal aslinya atau konteks umum. Seringkali dalam soal seperti ini, ada satu pasangan yang lebih 'jelas' atau merupakan bagian dari rantai kesebangunan yang lebih besar.

Dalam banyak kasus, ketika dua garis tinggi ditarik dalam segitiga, kesebangunan:
ΔABD ~ ΔAEC
ΔBEC ~ ΔBDC
ΔABC ~ ΔACE
ΔABC ~ ΔABD

Dan juga:
ΔABC ~ ΔCBD
ΔABC ~ ΔBCE

Jadi, semua segitiga kecil dan segitiga besar adalah sebangun satu sama lain, asalkan sudut-sudutnya sesuai.

Jika kita harus memilih satu, kita lihat mana yang paling langsung terlihat.

Perhatikan ΔABD dan ΔAEC. Mereka berbagi sudut A dan keduanya memiliki sudut siku-siku. Ini adalah kesebangunan yang sangat jelas.

Perhatikan ΔBEC dan ΔBDC. Keduanya memiliki sudut siku-siku. ∠C pada ΔBDC adalah sudut yang sama dengan ∠BCE pada ΔBEC. Ini juga jelas.

Karena kedua pilihan tersebut benar, dan kita diminta untuk memberikan satu jawaban, kita harus memilih salah satu.

Mari kita pilih pilihan b sebagai jawaban yang paling sering ditekankan dalam pengajaran awal tentang kesebangunan yang melibatkan garis tinggi.