Perhatikan gambar tabung di samping a. Jika jari-jari

a. Luas permukaan menjadi \(8\pi r_0^2 + 2\pi r_0 t_0\). b. Luas permukaan menjadi \(\frac{1}{2}\pi r_0^2 + 2\pi r_0 t_0\). c. Ya, terjadi perubahan karena luas alas yang dipengaruhi oleh kuadrat jari-jari.

Pembahasan

Kita akan menganalisis perubahan luas permukaan tabung berdasarkan perubahan jari-jari (r) dan tinggi (t).
Rumus Luas Permukaan Tabung (L) adalah \(L = 2\pi r^2 + 2\pi rt\), di mana \(2\pi r^2\) adalah luas kedua alas lingkaran dan \(2\pi rt\) adalah luas selimut tabung.

Misalkan luas permukaan tabung awal adalah \(L_0 = 2\pi r_0^2 + 2\pi r_0 t_0\).

a. Jika jari-jari dijadikan dua kali lipat dan tinggi dijadikan 1/2 kali lipat:
Jari-jari baru \(r_1 = 2r_0\)
Tinggi baru \(t_1 = \frac{1}{2}t_0\)

Luas permukaan tabung baru \(L_1\) adalah:
\(L_1 = 2\pi r_1^2 + 2\pi r_1 t_1\)
\(L_1 = 2\pi (2r_0)^2 + 2\pi (2r_0) (\frac{1}{2}t_0)\)
\(L_1 = 2\pi (4r_0^2) + 2\pi r_0 t_0\)
\(L_1 = 8\pi r_0^2 + 2\pi r_0 t_0\)

b. Jika jari-jari dijadikan 1/2 kali lipat dan tinggi dijadikan dua kali lipat:
Jari-jari baru \(r_2 = \frac{1}{2}r_0\)
Tinggi baru \(t_2 = 2t_0\)

Luas permukaan tabung baru \(L_2\) adalah:
\(L_2 = 2\pi r_2^2 + 2\pi r_2 t_2\)
\(L_2 = 2\pi (\frac{1}{2}r_0)^2 + 2\pi (\frac{1}{2}r_0) (2t_0)\)
\(L_2 = 2\pi (\frac{1}{4}r_0^2) + 2\pi r_0 t_0\)
\(L_2 = \frac{1}{2}\pi r_0^2 + 2\pi r_0 t_0\)

c. Analisis perubahan luas permukaan tabung:

Perbandingan \(L_1\) dengan \(L_0\): \(L_1 = 8\pi r_0^2 + 2\pi r_0 t_0\). 
Dibandingkan dengan \(L_0 = 2\pi r_0^2 + 2\pi r_0 t_0\), terlihat bahwa luas alas \(2\pi r_0^2\) berubah menjadi \(8\pi r_0^2\) (menjadi 4 kali lipat), sementara luas selimut \(2\pi r_0 t_0\) tetap sama. Secara keseluruhan, luas permukaan tabung menjadi lebih besar.

Perbandingan \(L_2\) dengan \(L_0\): \(L_2 = \frac{1}{2}\pi r_0^2 + 2\pi r_0 t_0\). 
Dibandingkan dengan \(L_0 = 2\pi r_0^2 + 2\pi r_0 t_0\), terlihat bahwa luas alas \(2\pi r_0^2\) berubah menjadi \(\frac{1}{2}\pi r_0^2\) (menjadi 1/4 kali lipat), sementara luas selimut \(2\pi r_0 t_0\) tetap sama. Secara keseluruhan, luas permukaan tabung menjadi lebih kecil.

Kesimpulan:
Ya, terjadi perubahan luas permukaan tabung. Pada kasus a, peningkatan jari-jari secara signifikan (menjadi 2 kali lipat) lebih dominan mempengaruhi luas permukaan (terutama luas alas yang kuadratik terhadap jari-jari) daripada penurunan tinggi. Akibatnya, luas permukaan bertambah. Sebaliknya, pada kasus b, penurunan jari-jari (menjadi 1/2 kali lipat) mengurangi luas permukaan (terutama luas alas), meskipun tingginya bertambah, sehingga luas permukaan secara keseluruhan berkurang.