Perhatikan gambarJika |CD|=2|BD|: G tengah-tengah AC.Jika

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan konsep vektor dan informasi yang diberikan:

Diketahui:
1. |CD| = 2|BD|: Ini berarti vektor CD sama dengan dua kali vektor BD, atau C, D, dan B segaris dan D berada di antara C dan B dengan jarak dua kali jarak BD. Dengan kata lain, titik D membagi ruas garis CB dengan perbandingan 2:1 (jika dihitung dari C ke B).
2. G adalah titik tengah AC: Ini berarti vektor AG sama dengan vektor GC, atau vektor G = (vektor A + vektor C) / 2.
3. GD = rAB + sAC: Ini adalah representasi vektor GD sebagai kombinasi linear dari vektor AB dan AC.

Kita perlu mencari nilai r + s.

Mari kita nyatakan posisi titik-titik menggunakan vektor dari titik asal sembarang O:

Dari G adalah titik tengah AC:
$\\vec{OG} = \frac{1}{2}(\\vec{OA} + \\vec{OC})$

Dari |CD| = 2|BD|, titik D membagi BC dengan perbandingan 2:1 (dari C ke B). Ini berarti $\\vec{OD} = \frac{1 \\vec{OB} + 2 \\vec{OC}}{1+2} = \frac{1}{3}\\vec{OB} + \frac{2}{3}\\vec{OC}$.
Namun, informasi |CD| = 2|BD| lebih mudah diinterpretasikan jika kita melihat perbandingan dari B ke C. Titik D membagi BC sedemikian rupa sehingga CD = 2BD. Jika kita menganggap B sebagai titik awal, maka C berada di ujung. D berada di antara B dan C. Jarak CD dua kali jarak BD. Maka D membagi BC dengan perbandingan 1:2 (dari B ke C). Sehingga $\\vec{OD} = \frac{2 \\vec{OB} + 1 \\vec{OC}}{1+2} = \frac{2}{3}\\vec{OB} + \frac{1}{3}\\vec{OC}$.

Mari kita gunakan notasi vektor huruf kecil untuk posisi titik relatif terhadap titik asal O: $\\\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c}, \\vec{g}, \\vec{d}$.

$\\\vec{g} = \frac{1}{2}(\\\vec{a} + \\vec{c})$

Karena D membagi BC dengan perbandingan 1:2 (dari B ke C), maka:
$\\\vec{d} = \frac{2\\vec{b} + 1\\vec{c}}{1+2} = \frac{2}{3}\\\vec{b} + \frac{1}{3}\\\vec{c}$

Sekarang kita cari vektor GD:
$\\\vec{GD} = \\vec{d} - \\vec{g}$
$\\\vec{GD} = (\frac{2}{3}\\\vec{b} + \frac{1}{3}\\\vec{c}) - \frac{1}{2}(\\\vec{a} + \\vec{c})$
$\\\vec{GD} = \frac{2}{3}\\\vec{b} + \frac{1}{3}\\\vec{c} - \frac{1}{2}\\\vec{a} - \frac{1}{2}\\\vec{c}$
$\\\vec{GD} = -\frac{1}{2}\\\vec{a} + \frac{2}{3}\\\vec{b} + (\frac{1}{3} - \frac{1}{2})\\vec{c}$
$\\\vec{GD} = -\frac{1}{2}\\\vec{a} + \frac{2}{3}\\\vec{b} - \frac{1}{6}\\\vec{c}$

Selanjutnya, kita perlu mengekspresikan $\\\vec{GD}$ dalam bentuk $\\\vec{AB}$ dan $\\\vec{AC}$.
$\\\vec{AB} = \\vec{b} - \\vec{a}$
$\\\vec{AC} = \\vec{c} - \\vec{a}$

Kita perlu menulis ulang $\\\vec{GD}$ dalam bentuk $\\\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c}$ sehingga kita bisa memisahkannya menjadi $\\\vec{AB}$ dan $\\\vec{AC}$.

$\\\vec{GD} = \\vec{d} - \\vec{g}$

Kita tahu G adalah titik tengah AC: $\\\vec{AG} = \frac{1}{2}\\\vec{AC}$.

Karena D membagi BC dengan perbandingan 1:2 (dari B ke C), $\\\vec{BD} = \frac{1}{3}\\\vec{BC}$.
Jadi, $\\\vec{GD} = \\vec{GB} + \\vec{BD}$

Atau, kita bisa menggunakan $\\\vec{GD} = \\vec{GA} + \\vec{AD}$.
$\\\vec{GA} = -\\vec{AG} = -\frac{1}{2}\\\vec{AC}$

$\\\vec{AD} = \\vec{AB} + \\vec{BD}$

Karena D membagi BC dengan perbandingan 1:2:
$\\\vec{AD} = \frac{2 \\vec{AB} + 1 \\vec{AC}}{1+2} = \frac{2}{3}\\\vec{AB} + \frac{1}{3}\\\vec{AC}$

Sekarang substitusikan $\\\vec{AD}$ ke dalam $\\\vec{GD} = \\vec{GA} + \\vec{AD}$: 
$\\\vec{GD} = -\frac{1}{2}\\\vec{AC} + (\frac{2}{3}\\\vec{AB} + \frac{1}{3}\\\vec{AC})$
$\\\vec{GD} = \frac{2}{3}\\\vec{AB} + (\frac{1}{3} - \frac{1}{2})\\vec{AC}$
$\\\vec{GD} = \frac{2}{3}\\\vec{AB} - \frac{1}{6}\\\vec{AC}$

Jadi, bentuknya adalah $\\\vec{GD} = r \\vec{AB} + s \\vec{AC}$.
Dengan membandingkan koefisien, kita dapatkan:
$r = \frac{2}{3}$
$s = -\frac{1}{6}$

Yang ditanya adalah $r + s$.
$r + s = \frac{2}{3} + (-\frac{1}{6})$
$r + s = \frac{4}{6} - \frac{1}{6}$
$r + s = \frac{3}{6}$
$r + s = \frac{1}{2}$

Mari kita periksa kembali interpretasi perbandingan titik D pada BC.
Jika |CD| = 2|BD|, maka D membagi BC. Jarak dari B ke D adalah 1 bagian, dan jarak dari D ke C adalah 2 bagian. Maka D membagi BC dengan perbandingan BD:DC = 1:2.

Jika D membagi BC dengan perbandingan m:n (dari B ke C), maka $\\\vec{OD} = \frac{n \\vec{OB} + m \\vec{OC}}{m+n}$.
Dalam kasus ini, m=1, n=2. Jadi $\\\vec{OD} = \frac{2 \\vec{OB} + 1 \\vec{OC}}{1+2} = \frac{2}{3}\\\vec{OB} + \frac{1}{3}\\\vec{OC}$. Ini sudah benar.

Sekarang G adalah titik tengah AC: $\\\vec{OG} = \frac{1}{2}(\\\vec{OA} + \\vec{OC})$. Ini juga sudah benar.

$\\\vec{GD} = \\vec{OD} - \\vec{OG} = (\frac{2}{3}\\\vec{OB} + \frac{1}{3}\\\vec{OC}) - \frac{1}{2}(\\\vec{OA} + \\vec{OC})$
$\\\vec{GD} = \frac{2}{3}\\\vec{OB} + \frac{1}{3}\\\vec{OC} - \frac{1}{2}\\\vec{OA} - \frac{1}{2}\\\vec{OC}$
$\\\vec{GD} = -\frac{1}{2}\\\vec{OA} + \frac{2}{3}\\\vec{OB} - \frac{1}{6}\\\vec{OC}$

Sekarang ekspresikan dalam $\\\vec{AB}$ dan $\\\vec{AC}$.
$\\\vec{AB} = \\vec{OB} - \\vec{OA}$
$\\\vec{AC} = \\vec{OC} - \\vec{OA}$

Kita perlu mengubah $\\\vec{OA}, \\vec{OB}, \\vec{OC}$ menjadi $\\\vec{OA}, \\vec{AB}, \\vec{AC}$.
$\\\vec{OB} = \\vec{OA} + \\vec{AB}$
$\\\vec{OC} = \\vec{OA} + \\vec{AC}$

Substitusikan ini ke dalam $\\\vec{GD}$:
$\\\vec{GD} = -\frac{1}{2}\\\vec{OA} + \frac{2}{3}(\\\vec{OA} + \\vec{AB}) - \frac{1}{6}(\\\vec{OA} + \\vec{AC})$
$\\\vec{GD} = -\frac{1}{2}\\\vec{OA} + \frac{2}{3}\\\vec{OA} + \frac{2}{3}\\\vec{AB} - \frac{1}{6}\\\vec{OA} - \frac{1}{6}\\\vec{AC}$

Gabungkan suku-suku yang memiliki $\\\vec{OA}$:
Koefisien $\\\vec{OA} = -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}$
Koefisien $\\\vec{OA} = -\frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{1}{6}$
Koefisien $\\\vec{OA} = \frac{-3 + 4 - 1}{6} = \frac{0}{6} = 0$

Jadi, $\\\vec{GD} = \frac{2}{3}\\\vec{AB} - \frac{1}{6}\\\vec{AC}$.

Ini cocok dengan bentuk $\\\vec{GD} = r \\vec{AB} + s \\vec{AC}$.
Maka $r = \frac{2}{3}$ dan $s = -\frac{1}{6}$.

$r + s = \frac{2}{3} + (-\frac{1}{6}) = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Jawaban sudah konsisten.