Kelas 12Kelas 11mathBarisan Dan DeretInduksi Matematika
Perhatikan penjumlahan bilangan berikut ini. 1^3 + 2^3 +
Pertanyaan
Perhatikan penjumlahan bilangan kubik berikut: 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³. Rancanglah sebuah formula yang berlaku untuk menjumlahkan n suku pertama dari deret tersebut, dan kemudian buktikan kebenaran formula yang Anda peroleh menggunakan induksi matematika. Terapkan formula tersebut untuk menghitung jumlah dari 1³ + 2³ + ... + 50³.
Solusi
Verified
Formula untuk jumlah n suku pertama bilangan kubik adalah [n(n+1)/2]². Untuk n=50, jumlahnya adalah 1.625.625.
Pembahasan
Penjumlahan deret pangkat tiga: S₁ = 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ **Perancangan Formula:** Mari kita lihat beberapa suku pertama untuk mencari pola: S₁ = 1³ = 1 S₂ = 1³ + 2³ = 1 + 8 = 9 S₃ = 1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36 S₄ = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 Perhatikan hasil penjumlahannya: 1, 9, 36, 100. Angka-angka ini adalah bilangan kuadrat sempurna: 1², 3², 6², 10². Sekarang mari kita lihat pola pada akar kuadratnya: 1, 3, 6, 10. Ini adalah barisan bilangan segitiga: Bilangan segitiga ke-n (Tₙ) dirumuskan sebagai Tₙ = n(n+1)/2. Mari kita cek: T₁ = 1(1+1)/2 = 1 T₂ = 2(2+1)/2 = 3 T₃ = 3(3+1)/2 = 6 T₄ = 4(4+1)/2 = 10 Jadi, sepertinya Sₙ = (Tₙ)² = [n(n+1)/2]². Formula yang dirancang untuk penjumlahan n suku pertama dari bilangan kubik adalah: Sₙ = [n(n+1)/2]². **Pembuktian Kebenaran Formula (menggunakan Induksi Matematika):** Kita akan membuktikan bahwa 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = [n(n+1)/2]² berlaku untuk semua bilangan asli n. 1. **Basis Induksi (n=1):** Sisi kiri: 1³ = 1 Sisi kanan: [1(1+1)/2]² = [1(2)/2]² = [1]² = 1 Karena sisi kiri = sisi kanan, formula berlaku untuk n=1. 2. **Langkah Induksi:** Asumsikan formula berlaku untuk n = k, yaitu: S<0xE2><0x82><0x96> = 1³ + 2³ + ... + k³ = [k(k+1)/2]² Kita harus membuktikan bahwa formula juga berlaku untuk n = k+1, yaitu: S<0xE2><0x82><0x96>₊₁ = 1³ + 2³ + ... + k³ + (k+1)³ = [(k+1)(k+2)/2]² Mulai dari sisi kiri S<0xE2><0x82><0x96>₊₁: S<0xE2><0x82><0x96>₊₁ = (1³ + 2³ + ... + k³) + (k+1)³ Gunakan asumsi induksi untuk mengganti bagian dalam kurung: S<0xE2><0x82><0x96>₊₁ = [k(k+1)/2]² + (k+1)³ S<0xE2><0x82><0x96>₊₁ = [k²(k+1)² / 4] + (k+1)³ Faktorkan (k+1)²: S<0xE2><0x82><0x96>₊₁ = (k+1)² [k²/4 + (k+1)] Samakan penyebut di dalam kurung siku: S<0xE2><0x82><0x96>₊₁ = (k+1)² [(k² + 4(k+1)) / 4] S<0xE2><0x82><0x96>₊₁ = (k+1)² [(k² + 4k + 4) / 4] Perhatikan bahwa k² + 4k + 4 adalah kuadrat sempurna (k+2)²: S<0xE2><0x82><0x96>₊₁ = (k+1)² [(k+2)² / 4] S<0xE2><0x82><0x96>₊₁ = [(k+1)(k+2) / 2]² Ini sama dengan sisi kanan yang ingin kita buktikan. **Kesimpulan:** Karena basis induksi benar dan langkah induksi benar, maka formula Sₙ = [n(n+1)/2]² berlaku untuk semua bilangan asli n. Untuk soal spesifik 1³ + 2³ + ... + 50³: Kita gunakan n = 50. Jumlah = [50(50+1)/2]² Jumlah = [50(51)/2]² Jumlah = [25 × 51]² Jumlah = [1275]² Jumlah = 1.625.625
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Pembuktian Induktif, Deret Pangkat Tiga
Section: Aplikasi Deret Pangkat Tiga, Pembuktian Formula Deret
Apakah jawaban ini membantu?