Perhatikan segitiga siku-siku berikut! A c b B a CBuktikan

Menggunakan definisi sinus dan kosinus serta Teorema Pythagoras, terbukti bahwa sin^2(C) + cos^2(C) = 1.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri \sin^2(C) + \cos^2(C) = 1\ dalam konteks segitiga siku-siku, kita akan menggunakan definisi sinus dan kosinus berdasarkan perbandingan sisi-sisi segitiga.

Misalkan kita memiliki segitiga siku-siku ABC, dengan sudut siku-siku di B. Sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut A, B, dan C masing-masing adalah a, b, dan c.

Dalam segitiga siku-siku:
-   Sinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang sisi di depan sudut tersebut dengan panjang sisi miring (hipotenusa).
-   Kosinus suatu sudut didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang sisi di samping sudut tersebut (yang bukan hipotenusa) dengan panjang sisi miring (hipotenusa).

Untuk sudut C:
-   Sisi di depan sudut C adalah sisi c.
-   Sisi di samping sudut C (yang bukan hipotenusa) adalah sisi a.
-   Sisi miring (hipotenusa) adalah sisi b.

Maka, berdasarkan definisi:
\sin(C) = \frac{\text{sisi di depan C}}{\text{sisi miring}} = \frac{c}{b}
\cos(C) = \frac{\text{sisi di samping C}}{\text{sisi miring}} = \frac{a}{b}

Sekarang, mari kita substitusikan definisi ini ke dalam persamaan \sin^2(C) + \cos^2(C)\:
\sin^2(C) + \cos^2(C) = \left(\frac{c}{b}\right)^2 + \left(\frac{a}{b}\right)^2
= \frac{c^2}{b^2} + \frac{a^2}{b^2}
= \frac{c^2 + a^2}{b^2}

Menurut Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ABC (dengan siku-siku di B), kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya. Jadi:
a^2 + c^2 = b^2

Substitusikan kembali hasil Teorema Pythagoras ke dalam persamaan kita:
\sin^2(C) + \cos^2(C) = \frac{b^2}{b^2}
= 1

Dengan demikian, terbukti bahwa \sin^2(C) + \cos^2(C) = 1\.