Perhatikan tabel berikut.x f^-1(x) 1 akar(2) 2 akar(3)/2 3

1/2

Pembahasan

Diketahui fungsi f(x) = 1/x^2 + b. Kita diberikan tabel yang menunjukkan beberapa pasangan nilai x dan f^-1(x). Namun, tabel tersebut tampaknya menyajikan nilai x dan nilai f(x) atau beberapa transformasi darinya, bukan f^-1(x) secara langsung. Asumsi yang paling mungkin adalah tabel tersebut menunjukkan pasangan (x, f(x)).

Mari kita analisis tabelnya:

x | f^-1(x)
--|---------
1 | akar(2)
2 | akar(3)/2
3 | akar(4/3)
4 | akar(5)/4

Jika kita mengasumsikan tabel tersebut adalah (x, f(x)), maka:

f(1) = 1/1^2 + b = 1 + b = akar(2)  => b = akar(2) - 1
f(2) = 1/2^2 + b = 1/4 + b = akar(3)/2 => b = akar(3)/2 - 1/4
f(3) = 1/3^2 + b = 1/9 + b = akar(4/3) => b = akar(4/3) - 1/9
f(4) = 1/4^2 + b = 1/16 + b = akar(5)/4 => b = akar(5)/4 - 1/16

Nilai b yang didapatkan dari setiap pasangan (x, f(x)) tidak konsisten, yang menunjukkan bahwa asumsi ini salah atau ada kesalahan dalam soal/tabel.

Mari kita pertimbangkan jika tabel tersebut berhubungan dengan invers fungsi, f^-1(x).
Jika f(x) = y, maka f^-1(y) = x.
Dalam tabel, kita punya pasangan (x, f^-1(x)).
Jadi, jika f^-1(1) = akar(2), maka f(akar(2)) = 1.
Jika f^-1(2) = akar(3)/2, maka f(akar(3)/2) = 2.
Jika f^-1(3) = akar(4/3), maka f(akar(4/3)) = 3.
Jika f^-1(4) = akar(5)/4, maka f(akar(5)/4) = 4.

Mari kita gunakan f(x) = 1/x^2 + b.

f(akar(2)) = 1/(akar(2))^2 + b = 1/2 + b = 1 => b = 1 - 1/2 = 1/2.

Mari kita cek dengan pasangan lain:
f(akar(3)/2) = 1/(akar(3)/2)^2 + b = 1/(3/4) + b = 4/3 + b = 2 => b = 2 - 4/3 = 6/3 - 4/3 = 2/3.

Nilai b masih tidak konsisten.

Ada kemungkinan lain bahwa tabel tersebut adalah (x, f(x)) tetapi nilai f^-1(x) di tabel adalah typo dan seharusnya f(x).

Jika kita lihat polanya, nilai x meningkat (1, 2, 3, 4) dan nilai f^-1(x) adalah akar(2), akar(3)/2, akar(4/3), akar(5)/4.
Jika kita perhatikan nilai di bawah akar: 2, 3, 4/3, 5/4. Tidak ada pola yang jelas.

Mari kita fokus pada fungsi f(x) = 1/x^2 + b dan coba gunakan salah satu pasangan jika kita bisa menginterpretasikan tabel dengan benar.

Jika kita mengasumsikan bahwa x pada tabel adalah input ke f^-1, dan f^-1(x) adalah outputnya.
Misalkan kita ambil pasangan pertama: x=1, f^-1(1) = sqrt(2).
Ini berarti f(sqrt(2)) = 1.
Substitusikan ke dalam f(x) = 1/x^2 + b:
1 = 1/(sqrt(2))^2 + b
1 = 1/2 + b
b = 1 - 1/2
b = 1/2

Sekarang, mari kita periksa apakah ini konsisten dengan pasangan lain.
Ambil pasangan kedua: x=2, f^-1(2) = sqrt(3)/2.
Ini berarti f(sqrt(3)/2) = 2.
Substitusikan ke dalam f(x) = 1/x^2 + b:
2 = 1/(sqrt(3)/2)^2 + b
2 = 1/(3/4) + b
2 = 4/3 + b
b = 2 - 4/3
b = 6/3 - 4/3
b = 2/3.

Nilai b tidak konsisten, sehingga interpretasi tabel sebagai (x, f^-1(x)) dengan f(x) = 1/x^2 + b tidak memberikan solusi yang konsisten.

Kemungkinan besar ada kesalahan pada penyajian tabel atau pada fungsi yang diberikan.

Namun, jika kita dipaksa untuk memberikan jawaban berdasarkan salah satu pasangan, dan mengasumsikan bahwa salah satu pasangan tersebut benar, pasangan pertama (x=1, f^-1(x)=akar(2)) memberikan b = 1/2.

Mari kita coba interpretasi lain:
Jika tabel menyajikan (f(x), x).
Ini berarti:
Jika f(x)=1, maka x=akar(2).
1/x^2 + b = 1 => 1/(akar(2))^2 + b = 1 => 1/2 + b = 1 => b = 1/2.

Jika f(x)=2, maka x=akar(3)/2.
1/x^2 + b = 2 => 1/(akar(3)/2)^2 + b = 2 => 1/(3/4) + b = 2 => 4/3 + b = 2 => b = 2/3.

Masih tidak konsisten.

Kemungkinan besar soal ini memiliki kesalahan data pada tabel atau pada fungsi yang diberikan, karena tidak ada nilai b yang konsisten di semua pasangan.

Namun, jika kita harus memilih satu interpretasi yang paling mungkin dan memberikan jawaban, interpretasi bahwa tabel adalah (input ke f^-1, output dari f^-1) yang berarti (y, f^-1(y)) atau (x_inv, y_inv) dan kita menggunakan f(y_inv) = x_inv adalah yang paling umum dalam konteks fungsi invers.
Dalam kasus ini, kita mengasumsikan tabel menyajikan pasangan (nilai input ke f, nilai output dari f), yaitu (x, f(x)), dan nilai di kolom kedua adalah nilai f(x), bukan f^-1(x).

x | f(x) (asumsi)
--|-------------
1 | sqrt(2)
2 | sqrt(3)/2
3 | sqrt(4/3)
4 | sqrt(5)/4

Jika f(x) = 1/x^2 + b

f(1) = 1/1^2 + b = 1 + b = sqrt(2) => b = sqrt(2) - 1
f(2) = 1/2^2 + b = 1/4 + b = sqrt(3)/2 => b = sqrt(3)/2 - 1/4

Ini juga tidak konsisten.

Mari kita kembali ke interpretasi awal: tabel adalah (x, f^-1(x)).
x | f^-1(x)
--|---------
1 | sqrt(2)
2 | sqrt(3)/2
3 | sqrt(4/3)
4 | sqrt(5)/4

Artinya, f(sqrt(2)) = 1, f(sqrt(3)/2) = 2, f(sqrt(4/3)) = 3, f(sqrt(5)/4) = 4.
Kita punya f(x) = 1/x^2 + b.

f(sqrt(2)) = 1/(sqrt(2))^2 + b = 1/2 + b = 1 => b = 1/2.

Jika kita *memaksa* jawaban dari pasangan pertama, maka b = 1/2.

Asumsi soal:
Fungsi yang diberikan adalah f(x) = 1/x^2 + b.
Tabel yang diberikan adalah pasangan (x, f^-1(x)).

Mencari nilai b.

Dari tabel, pasangan pertama adalah x = 1 dan f^-1(1) = akar(2).
Ini berarti jika kita memasukkan akar(2) ke dalam fungsi f, hasilnya adalah 1.
Jadi, f(akar(2)) = 1.

Substitusikan akar(2) ke dalam fungsi f(x):
f(akar(2)) = 1/(akar(2))^2 + b
1 = 1/2 + b

Pindahkan 1/2 ke sisi kiri:
b = 1 - 1/2
b = 1/2

Jawaban ini didasarkan pada asumsi bahwa pasangan pertama dalam tabel adalah benar dan mewakili hubungan f(f^-1(x)) = x.