Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=3. Jika tidak,

Fungsi tidak kontinu di x=3 karena f(3) ≠ lim x→3 f(x).

Pembahasan

Untuk memeriksa kekontinuan fungsi f(x) di x=3, kita perlu memeriksa tiga syarat kekontinuan:
1. f(3) terdefinisi.
2. Limit f(x) saat x mendekati 3 ada (lim x→3 f(x)).
3. Nilai f(3) sama dengan limit f(x) saat x mendekati 3 (f(3) = lim x→3 f(x)).

Fungsi yang diberikan adalah:
f(x) = {(x³-27)/(x-3), jika x ≠ 3
        {2,          jika x = 3

1. Memeriksa f(3):
Dari definisi fungsi, f(3) = 2. Jadi, f(3) terdefinisi.

2. Memeriksa limit f(x) saat x mendekati 3:
Karena kita mendekati x=3 tetapi tidak sama dengan 3, kita gunakan definisi pertama:
lim x→3 f(x) = lim x→3 (x³ - 27)/(x - 3)
Ini adalah bentuk tak tentu 0/0, jadi kita bisa memfaktorkan pembilang:
x³ - 27 = (x - 3)(x² + 3x + 9)
Jadi, lim x→3 (x - 3)(x² + 3x + 9)/(x - 3)
Kita bisa membatalkan (x - 3):
= lim x→3 (x² + 3x + 9)
Substitusikan x = 3:
= (3)² + 3(3) + 9
= 9 + 9 + 9
= 27
Jadi, limit f(x) saat x mendekati 3 adalah 27.

3. Membandingkan f(3) dengan limitnya:
Kita punya f(3) = 2 dan lim x→3 f(x) = 27.
Karena f(3) ≠ lim x→3 f(x) (2 ≠ 27), maka fungsi tersebut tidak kontinu di x=3.

Alasan ketidakkontinuan: Syarat ketiga kekontinuan tidak terpenuhi, yaitu nilai fungsi di titik tersebut tidak sama dengan nilai limit fungsi di titik tersebut.