Perlihatkan himpunan penyelesaian dari sistem

Nilai minimum $4x+y$ adalah 5 (di titik (1,1)) dan nilai maksimumnya adalah 18 (di titik (4,2)).

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dan mencari nilai minimum serta maksimum dari fungsi tujuan $4x+y$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

**1. Menggambar Daerah Himpunan Penyelesaian:**
Kita akan menggambar setiap pertidaksamaan pada bidang Cartesius:
   * $x 
ge 1$: Daerah di sebelah kanan atau pada garis vertikal $x=1$.
   * $x 
le 4$: Daerah di sebelah kiri atau pada garis vertikal $x=4$.
   * $x + y 
le 6$: Daerah di bawah atau pada garis $y = -x + 6$. (Titik uji (0,0): $0+0 
le 6$, benar, jadi daerahnya termasuk titik (0,0)).
   * $2x + y 
ge 3$: Daerah di atas atau pada garis $y = -2x + 3$. (Titik uji (0,0): $2(0)+0 
ge 3$, salah, jadi daerahnya tidak termasuk titik (0,0)).

Dengan menggabungkan keempat daerah ini, kita akan mendapatkan sebuah daerah poligon tertutup (dalam kasus ini, sebuah segi empat yang dibatasi oleh titik-titik potong dari garis-garis batas).

**2. Menentukan Titik-titik Sudut (Titik Pojok) dari Himpunan Penyelesaian:**
Titik-titik sudut adalah perpotongan dari garis-garis batas:
   * Perpotongan $x=1$ dan $x+y=6$: $1+y=6 
Rightarrow y=5$. Titik: (1, 5).
   * Perpotongan $x=4$ dan $x+y=6$: $4+y=6 
Rightarrow y=2$. Titik: (4, 2).
   * Perpotongan $x=4$ dan $2x+y=3$: $2(4)+y=3 
Rightarrow 8+y=3 
Rightarrow y=-5$. Titik: (4, -5).
   * Perpotongan $x=1$ dan $2x+y=3$: $2(1)+y=3 
Rightarrow 2+y=3 
Rightarrow y=1$. Titik: (1, 1).

Jadi, titik-titik sudut dari daerah himpunan penyelesaian adalah (1, 5), (4, 2), (4, -5), dan (1, 1).

**3. Mengevaluasi Fungsi Tujuan $4x+y$ pada Setiap Titik Sudut:**
   * Di titik (1, 5): $4(1) + 5 = 4 + 5 = 9$.
   * Di titik (4, 2): $4(4) + 2 = 16 + 2 = 18$.
   * Di titik (4, -5): $4(4) + (-5) = 16 - 5 = 11$.
   * Di titik (1, 1): $4(1) + 1 = 4 + 1 = 5$.

**4. Menentukan Nilai Minimum dan Maksimum:**
Berdasarkan evaluasi di atas:
   * Nilai minimum dari $4x+y$ adalah 5, yang terjadi di titik (1, 1).
   * Nilai maksimum dari $4x+y$ adalah 18, yang terjadi di titik (4, 2).

Himpunan penyelesaian adalah daerah segi empat yang dibatasi oleh titik-titik (1, 1), (4, 1), (4, 2), dan (1, 5), yang memenuhi semua kondisi pertidaksamaan.