Persamaan bayangan lingkaran (x-4)^2+(y+7)^2=8 oleh

(x-4)² + (y-7)² = 8

Pembahasan

Pertama, kita perlu mencari bayangan lingkaran (x-4)² + (y+7)² = 8 oleh pencerminan terhadap garis y=x. Transformasi pencerminan terhadap garis y=x menukar koordinat x dan y. Jadi, jika (x, y) adalah titik pada lingkaran asli, maka bayangannya (x', y') akan memiliki x' = y dan y' = x. Ini berarti x = y' dan y = x'.

Substitusikan x = y' dan y = x' ke dalam persamaan lingkaran asli:
(y' - 4)² + (x' + 7)² = 8
(x' + 7)² + (y' - 4)² = 8

Ini adalah persamaan bayangan lingkaran setelah pencerminan. Selanjutnya, bayangan ini dirotasikan pada pusat O(0,0) dengan sudut rotasi 90°. Rotasi 90° searah jarum jam terhadap titik asal mengubah koordinat (x, y) menjadi (y, -x).

Jadi, jika (x', y') adalah titik pada bayangan lingkaran setelah pencerminan, maka bayangannya setelah rotasi (x'', y'') akan memiliki x'' = y' dan y'' = -x'. Ini berarti x' = -y'' dan y' = x''.

Substitusikan x' = -y'' dan y' = x'' ke dalam persamaan bayangan setelah pencerminan:
(-y'' + 7)² + (x'' - 4)² = 8
(x'' - 4)² + (-y'' + 7)² = 8
(x'' - 4)² + (y'' - 7)² = 8

Oleh karena itu, persamaan bayangan lingkaran setelah pencerminan terhadap garis y=x, dilanjutkan rotasi pada pusat O(0,0) dengan sudut rotasi 90° adalah (x-4)² + (y-7)² = 8.