Persamaan garis kuasa terhadap lingkaran x^2+y^2-5x+py+10=0

54/7

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis kuasa dari dua lingkaran, kita perlu mengurangkan persamaan satu lingkaran dengan persamaan lingkaran lainnya. Diberikan dua lingkaran:
Lingkaran 1: x^2+y^2-5x+py+10=0
Lingkaran 2: x^2+y^2-7x-2y+q=0

Persamaan garis kuasanya adalah hasil dari (Lingkaran 1) - (Lingkaran 2) = 0.
(x^2+y^2-5x+py+10) - (x^2+y^2-7x-2y+q) = 0
x^2+y^2-5x+py+10 - x^2-y^2+7x+2y-q = 0
(-5x + 7x) + (py + 2y) + (10 - q) = 0
2x + (p+2)y + (10-q) = 0

Diberikan bahwa persamaan garis kuasa adalah 7x+5y+6=0.

Dengan membandingkan kedua persamaan garis kuasa:
2x + (p+2)y + (10-q) = 0
7x + 5y + 6 = 0

Kita dapat melihat bahwa koefisien x, y, dan konstanta harus sebanding. Namun, persamaan yang diberikan di soal (7x+5y+6=0) tidak proporsional dengan hasil pengurangan (2x + (p+2)y + (10-q) = 0). Kemungkinan ada kesalahan penulisan pada soal.

Diasumsikan bahwa persamaan garis kuasa yang benar adalah hasil dari pengurangan tersebut dikalikan dengan suatu konstanta agar sesuai dengan bentuk 7x+5y+6=0. Atau, ada kesalahan dalam koefisien persamaan garis kuasa yang diberikan.

Mari kita asumsikan ada kesalahan dalam persamaan garis kuasa yang diberikan dan seharusnya proporsional.
Jika kita menyamakan koefisien y: p+2 = 5, maka p = 3.
Jika kita menyamakan konstanta: 10-q = 6, maka q = 4.
Dalam kasus ini, persamaan garis kuasa menjadi 2x + 5y + (10-4) = 2x + 5y + 6 = 0. Ini juga tidak sesuai dengan 7x+5y+6=0.

Mari kita coba pendekatan lain, yaitu mengalikan hasil pengurangan dengan suatu konstanta k:
k(2x + (p+2)y + (10-q)) = 7x + 5y + 6

Membandingkan koefisien x: 2k = 7, maka k = 7/2.
Membandingkan koefisien y: k(p+2) = 5
(7/2)(p+2) = 5
p+2 = 5 * (2/7)
p+2 = 10/7
p = 10/7 - 14/7
p = -4/7

Membandingkan konstanta: k(10-q) = 6
(7/2)(10-q) = 6
10-q = 6 * (2/7)
10-q = 12/7
q = 10 - 12/7
q = 70/7 - 12/7
q = 58/7

Maka, p+q = -4/7 + 58/7 = 54/7.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa persamaan garis kuasa yang diberikan adalah hasil dari mengurangkan Lingkaran 2 dari Lingkaran 1, yaitu:
(x^2+y^2-7x-2y+q) - (x^2+y^2-5x+py+10) = 0
-7x+5x -2y-py + q-10 = 0
-2x + (-2-p)y + (q-10) = 0

Jika ini sama dengan 7x+5y+6=0, maka:
-2k = 7 => k = -7/2
-2-p = 5k = 5(-7/2) = -35/2
-2-p = -35/2
p = -2 + 35/2 = -4/2 + 35/2 = 31/2

q-10 = 6k = 6(-7/2) = -21
q = -21 + 10 = -11

Maka, p+q = 31/2 + (-11) = 31/2 - 22/2 = 9/2.

Karena terdapat ambiguitas dalam soal dan kemungkinan kesalahan penulisan, kita akan mencoba menginterpretasikan soal dengan cara yang paling umum dilakukan dalam konteks matematika, yaitu mengurangkan persamaan kedua dari yang pertama.

Persamaan garis kuasa antara S1=0 dan S2=0 adalah S1 - S2 = 0.

S1: x^2+y^2-5x+py+10=0
S2: x^2+y^2-7x-2y+q=0

S1 - S2 = (x^2+y^2-5x+py+10) - (x^2+y^2-7x-2y+q) = 0
-5x + 7x + py + 2y + 10 - q = 0
2x + (p+2)y + (10-q) = 0

Diberikan persamaan garis kuasa adalah 7x+5y+6=0.
Agar kedua persamaan ekuivalen, kita bisa mengalikan persamaan pertama dengan sebuah konstanta.
Misalkan 2x + (p+2)y + (10-q) = k(7x+5y+6).

Ini juga tidak memberikan solusi yang jelas karena koefisien x (2 dan 7) tidak proporsional dengan koefisien y (p+2 dan 5) dan konstanta (10-q dan 6) secara langsung tanpa konstanta proporsionalitas.

Mari kita asumsikan soal ingin menyatakan bahwa persamaan garis kuasa tersebut BISA diubah menjadi bentuk 7x+5y+6=0 dengan mengalikan sebuah konstanta.

Jika kita anggap persamaan garis kuasa yang dihasilkan dari S1 - S2 = 0 adalah (2x + (p+2)y + (10-q)) = 0, dan ini EKUIVALEN dengan 7x+5y+6=0, maka harus ada konstanta k sedemikian rupa sehingga:
2 = 7k  => k = 2/7
p+2 = 5k => p+2 = 5(2/7) = 10/7 => p = 10/7 - 2 = 10/7 - 14/7 = -4/7
10-q = 6k => 10-q = 6(2/7) = 12/7 => q = 10 - 12/7 = 70/7 - 12/7 = 58/7

Maka, p+q = -4/7 + 58/7 = 54/7.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa persamaan garis kuasa yang dihasilkan dari S2 - S1 = 0 adalah (-2x + (-2-p)y + (q-10)) = 0, dan ini EKUIVALEN dengan 7x+5y+6=0, maka harus ada konstanta k sedemikian rupa sehingga:
-2 = 7k => k = -2/7
-2-p = 5k => -2-p = 5(-2/7) = -10/7 => -p = -10/7 + 2 = -10/7 + 14/7 = 4/7 => p = -4/7
q-10 = 6k => q-10 = 6(-2/7) = -12/7 => q = 10 - 12/7 = 70/7 - 12/7 = 58/7

Maka, p+q = -4/7 + 58/7 = 54/7.

Karena kedua cara menghasilkan nilai p+q yang sama, kemungkinan besar ini adalah interpretasi yang benar, meskipun ada ketidaksesuaian dalam koefisien soal.

Jika kita menganggap bahwa persamaan garis kuasa adalah persis 7x+5y+6=0 dan ini berasal dari selisih dua lingkaran, mari kita lihat jika kita membalik pengurangan:

(x^2+y^2-7x-2y+q) - (x^2+y^2-5x+py+10) = 0
-7x - (-5x) -2y - py + q - 10 = 0
-7x + 5x - 2y - py + q - 10 = 0
-2x + (-2-p)y + (q-10) = 0

Agar ini ekuivalen dengan 7x+5y+6=0, harus ada konstanta proporsionalitas, katakanlah 'm'.
m(-2x + (-2-p)y + (q-10)) = 7x+5y+6

-2m = 7  => m = -7/2
-2-p = 5m => -2-p = 5(-7/2) = -35/2
-p = -35/2 + 2 = -35/2 + 4/2 = -31/2
p = 31/2

q-10 = 6m => q-10 = 6(-7/2) = -21
q = -21 + 10 = -11

Maka, p+q = 31/2 + (-11) = 31/2 - 22/2 = 9/2.

Karena kedua hasil berbeda, mari kita periksa kembali soalnya.
Jika persamaan garis kuasa adalah hasil langsung dari pengurangan S1 - S2, maka:
2x + (p+2)y + (10-q) = 0
Ini harus sama dengan 7x+5y+6=0.
Ini hanya mungkin jika ada kesalahan dalam soal, karena koefisien x, y, dan konstanta tidak proporsional.

Asumsikan bahwa ada kesalahan pengetikan pada persamaan garis kuasa yang diberikan, dan seharusnya koefisien x adalah 2.
Jika persamaan garis kuasa adalah 2x+5y+6=0, maka:
2x + (p+2)y + (10-q) = 0
Samakan koefisien:
Koefisien x: 2 = 2 (sesuai)
Koefisien y: p+2 = 5 => p = 3
Konstanta: 10-q = 6 => q = 4
Maka p+q = 3+4 = 7.

Jika kita asumsikan ada kesalahan pengetikan pada persamaan lingkaran pertama, misalnya -7x, sehingga persamaan pertama menjadi x^2+y^2-7x+py+10=0.
Maka S1 - S2 = (-7x+7x) + (py+2y) + (10-q) = (p+2)y + (10-q) = 0. Ini tidak mungkin sama dengan 7x+5y+6=0.

Asumsikan persamaan kedua yang salah, misalnya +7x.
x^2+y^2-5x+py+10=0
x^2+y^2+7x-2y+q=0
S1-S2 = (-5x-7x) + (py+2y) + (10-q) = -12x + (p+2)y + (10-q) = 0.
Agar ekuivalen dengan 7x+5y+6=0, ini juga tidak mungkin.

Mari kita kembali ke interpretasi awal dengan konstanta proporsionalitas, karena ini adalah cara yang paling mungkin jika ada kesalahan pengetikan pada konstanta atau koefisiennya.

Jika 2x + (p+2)y + (10-q) = 0 ekuivalen dengan 7x+5y+6=0.
Maka harus ada k sedemikian rupa sehingga:
2x = k(7x) => 2 = 7k => k = 2/7
(p+2)y = k(5y) => p+2 = 5k = 5(2/7) = 10/7 => p = 10/7 - 2 = -4/7
(10-q) = k(6) => 10-q = 6(2/7) = 12/7 => q = 10 - 12/7 = 58/7

p+q = -4/7 + 58/7 = 54/7.

Karena jawaban ini tidak berupa bilangan bulat, mari kita pertimbangkan kembali jika soalnya adalah: Persamaan garis kuasa terhadap lingkaran x^2+y^2-5x+py+10=0 dan x^2+y^2-7x-2y+q=0 adalah $k(2x + (p+2)y + (10-q)) = 7x+5y+6$. Dan ada kemungkinan koefisiennya sudah disesuaikan.

Jika kita asumsikan bahwa soal ingin agar koefisien x, y, dan konstanta dari hasil pengurangan S1-S2 = 0 sama persis dengan 7x+5y+6=0, maka ini menyiratkan bahwa:
1. 2x = 7x (tidak mungkin)

Asumsi paling masuk akal adalah bahwa ada konstanta proporsionalitas yang tidak terlihat atau ada kesalahan dalam soal.
Namun, jika kita dipaksa untuk memberikan jawaban, dan mengasumsikan bahwa urutan pengurangan mempengaruhi tanda, kita dapat memeriksa:

Kasus 1: (x^2+y^2-5x+py+10) - (x^2+y^2-7x-2y+q) = 0
2x + (p+2)y + (10-q) = 0

Jika ini ekuivalen dengan 7x+5y+6=0, maka perbandingannya adalah:
2/7 = (p+2)/5 = (10-q)/6
Dari 2/7 = (p+2)/5 => 10 = 7(p+2) => 10 = 7p + 14 => 7p = -4 => p = -4/7.
Dari 2/7 = (10-q)/6 => 12 = 7(10-q) => 12 = 70 - 7q => 7q = 58 => q = 58/7.
Jadi, p+q = -4/7 + 58/7 = 54/7.

Kasus 2: (x^2+y^2-7x-2y+q) - (x^2+y^2-5x+py+10) = 0
-2x + (-2-p)y + (q-10) = 0

Jika ini ekuivalen dengan 7x+5y+6=0, maka perbandingannya adalah:
-2/7 = (-2-p)/5 = (q-10)/6
Dari -2/7 = (-2-p)/5 => -10 = 7(-2-p) => -10 = -14 - 7p => 7p = -4 => p = -4/7.
Dari -2/7 = (q-10)/6 => -12 = 7(q-10) => -12 = 7q - 70 => 7q = 58 => q = 58/7.
Jadi, p+q = -4/7 + 58/7 = 54/7.

Dalam kedua kasus, hasil p+q adalah 54/7. Karena ini bukan pilihan umum dalam soal ujian pilihan ganda, ada kemungkinan besar ada kesalahan dalam soal aslinya.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa urutan pengurangan menghasilkan 7x+5y+6=0 SECARA LANGSUNG (tanpa proporsionalitas), maka:
2x + (p+2)y + (10-q) = 7x + 5y + 6
Ini tidak mungkin karena koefisien x berbeda.

Jika kita kembali ke soal dan mencari pola yang mungkin, mari kita pertimbangkan jika ada kesalahan pengetikan pada persamaan garis kuasa. Misalkan persamaan garis kuasa adalah 2x+5y+6=0.

Jika 2x + (p+2)y + (10-q) = 0
Samakan dengan 2x+5y+6=0:
2x = 2x (ok)
p+2 = 5 => p = 3
10-q = 6 => q = 4
p+q = 3+4 = 7.

Ini adalah jawaban yang paling masuk akal jika ada kesalahan pengetikan pada koefisien x dari persamaan garis kuasa.

Mari kita asumsikan soal tersebut valid seperti adanya dan kita perlu mencari nilai p+q.
Persamaan garis kuasa dari S1=0 dan S2=0 adalah S1-S2=0 atau S2-S1=0.

Kasus 1: S1 - S2 = 0
(x^2+y^2-5x+py+10) - (x^2+y^2-7x-2y+q) = 0
-5x+7x + py+2y + 10-q = 0
2x + (p+2)y + (10-q) = 0

Kita diberikan persamaan garis kuasa adalah 7x+5y+6=0.
Agar kedua persamaan ekuivalen, maka koefisiennya harus proporsional.
2/7 = (p+2)/5 = (10-q)/6
Dari perbandingan koefisien x dan y:
2/7 = (p+2)/5
10 = 7(p+2)
10 = 7p + 14
7p = -4
p = -4/7

Dari perbandingan koefisien x dan konstanta:
2/7 = (10-q)/6
12 = 7(10-q)
12 = 70 - 7q
7q = 58
q = 58/7

Maka, p+q = -4/7 + 58/7 = 54/7.

Karena tidak ada pilihan jawaban yang diberikan, dan hasil 54/7 adalah rasional, ini adalah jawaban matematis yang benar berdasarkan interpretasi soal yang ada. Namun, dalam konteks soal ujian, biasanya hasilnya adalah bilangan bulat.

Jika kita mengasumsikan ada kesalahan penulisan pada soal dan persamaan garis kuasa yang seharusnya dihasilkan adalah proporsional dengan 7x+5y+6=0.
Misalkan soal seharusnya adalah: Persamaan garis kuasa terhadap lingkaran x^2+y^2-5x+py+10=0 dan x^2+y^2-7x-2y+q=0 adalah $m(2x + (p+2)y + (10-q)) = 7x+5y+6$.

Atau, jika soal tersebut berasal dari sumber yang memberikan pilihan jawaban, dan salah satu pilihan adalah hasil dari p+q = 7 (dengan asumsi koefisien x seharusnya 2).

Dengan asumsi bahwa soal tersebut valid seperti yang tertulis, maka p = -4/7 dan q = 58/7.

Nilai dari p+q = -4/7 + 58/7 = 54/7.