Persamaan garis normal kurva f(x)=-2x^3+6x^2 di titik P

(1, 4)

Pembahasan

Untuk menemukan koordinat titik P, kita perlu menggunakan informasi tentang persamaan garis normal dan kurva.

Kurva diberikan oleh f(x) = -2x³ + 6x².
Persamaan garis normal di titik P adalah 6y + x = 25.

Langkah 1: Cari gradien garis normal.
Kita ubah persamaan garis normal ke bentuk y = mx + c untuk menemukan gradien (m).
6y = -x + 25
y = (-1/6)x + 25/6
Jadi, gradien garis normal (m_normal) adalah -1/6.

Langkah 2: Cari gradien garis singgung.
Gradien garis singgung (m_singgung) tegak lurus dengan gradien garis normal. Hubungan antara keduanya adalah:
m_singgung * m_normal = -1
m_singgung * (-1/6) = -1
m_singgung = -1 / (-1/6)
m_singgung = 6

Langkah 3: Hubungkan gradien garis singgung dengan turunan pertama fungsi.
Gradien garis singgung di suatu titik pada kurva sama dengan nilai turunan pertama fungsi di titik tersebut. Mari kita cari turunan pertama f(x):
f'(x) = d/dx (-2x³ + 6x²)
f'(x) = -6x² + 12x

Karena gradien garis singgung adalah 6, kita setarakan f'(x) dengan 6:
-6x² + 12x = 6
Kita bagi semua suku dengan -6 untuk menyederhanakan:
x² - 2x = -1
x² - 2x + 1 = 0
Ini adalah bentuk kuadrat sempurna:
(x - 1)² = 0
x = 1

Ini adalah nilai x dari titik P.

Langkah 4: Cari nilai y dari titik P.
Karena titik P terletak pada kurva f(x) = -2x³ + 6x², kita substitusikan nilai x = 1 ke dalam persamaan kurva:
f(1) = -2(1)³ + 6(1)²
f(1) = -2(1) + 6(1)
f(1) = -2 + 6
f(1) = 4
Jadi, nilai y dari titik P adalah 4.

Langkah 5: Verifikasi dengan persamaan garis normal.
Titik P memiliki koordinat (1, 4). Mari kita cek apakah titik ini memenuhi persamaan garis normal 6y + x = 25:
6(4) + 1 = 24 + 1 = 25
Persamaan garis normal terpenuhi.

Jadi, koordinat titik P adalah (1, 4).