Jika limit x->1 f(x)/(x-1)=a , maka limit x->0 f(x+1)/x=...

a

Pembahasan

Diketahui bahwa limit x->1 f(x)/(x-1) = a. Ini mengimplikasikan bahwa agar limit tersebut ada (dan bernilai a, bukan tak hingga), pembilang f(x) harus mendekati 0 ketika x mendekati 1. Dengan kata lain, f(1) = 0.

Kita perlu mencari nilai dari limit x->0 f(x+1)/x.
Karena kita tahu f(1) = 0, kita bisa mengganti x dengan y-1. Maka, ketika x -> 0, y -> 1. Atau kita bisa langsung substitusi x+1 ke dalam f(x).

Misalkan y = x+1. Maka ketika x -> 0, y -> 1. Dan x = y-1.
Limit tersebut menjadi:
limit y->1 f(y) / (y-1)

Namun, pertanyaan meminta limit x->0 f(x+1)/x.
Karena f(1) = 0, kita bisa melihat ini sebagai bentuk tak tentu 0/0 jika kita substitusi x=0 ke dalam f(x+1) yang menjadi f(1).

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa menggunakan L'Hopital's Rule jika f(x) dapat diturunkan, atau menggunakan definisi turunan.

Dari informasi yang diberikan, limit x->1 f(x)/(x-1) = a. Ini adalah definisi turunan dari f(x) pada x=1, yaitu f'(1) = a, asalkan f(x) kontinu di x=1 dan f(1)=0.

Sekarang, mari kita lihat limit yang ditanyakan:
limit x->0 f(x+1)/x

Kita bisa mengalikan pembilang dan penyebut dengan (x+1)-1 = x, dan memisahkannya:
limit x->0 [f(x+1) / ((x+1)-1)] * [((x+1)-1) / x]

Misalkan u = x+1. Ketika x -> 0, maka u -> 1.
Bagian pertama dari limit menjadi: limit u->1 f(u) / (u-1) = a.
Bagian kedua dari limit menjadi: limit x->0 x / x = 1.

Jadi, limit x->0 f(x+1)/x = limit x->0 [f(x+1) / ((x+1)-1)] * [(x+1-1) / x]
= [limit x->0 f(x+1) / ((x+1)-1)] * [limit x->0 x / x]

Misalkan y = x+1, maka saat x->0, y->1. Maka limit pertama adalah limit y->1 f(y)/(y-1) = a.
Dan limit kedua adalah limit x->0 x/x = 1.

Sehingga, nilai limitnya adalah a * 1 = a.