Nilai limit x -> 0 (cos xsin x-tan x)/(x^2 sin x)=....

Nilai limitnya adalah -1.

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit x -> 0 (cos xsin x-tan x)/(x^2 sin x), kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0.
1. Turunkan pembilang: d/dx (cos x sin x - tan x) = -sin^2 x + cos^2 x - sec^2 x
2. Turunkan penyebut: d/dx (x^2 sin x) = 2x sin x + x^2 cos x
Bentuk limit menjadi: lim x->0 (-sin^2 x + cos^2 x - sec^2 x) / (2x sin x + x^2 cos x).
Karena masih berbentuk 0/0, kita terapkan lagi aturan L'Hopital.
3. Turunkan pembilang: d/dx (-sin^2 x + cos^2 x - sec^2 x) = -2sin x cos x - 2cos x sin x - 2sec^2 x tan x = -4sin x cos x - 2sec^2 x tan x
4. Turunkan penyebut: d/dx (2x sin x + x^2 cos x) = 2sin x + 2x cos x + 2x cos x - x^2 sin x = 2sin x + 4x cos x - x^2 sin x
Substitusikan x=0 ke dalam bentuk yang baru:
Pembilang: -4(0)(1) - 2(1)^2 (0) = 0
Penyebut: 2(0) + 4(0)(1) - (0)^2 (0) = 0
Karena masih 0/0, kita terapkan lagi aturan L'Hopital.
5. Turunkan pembilang: d/dx (-4sin x cos x - 2sec^2 x tan x) = -4(cos^2 x - sin^2 x) - (4sec^2 x tan^2 x + 2sec^4 x)
6. Turunkan penyebut: d/dx (2sin x + 4x cos x - x^2 sin x) = 2cos x + 4cos x - 4x sin x - (2x sin x + x^2 cos x) = 6cos x - 6x sin x - x^2 cos x
Substitusikan x=0:
Pembilang: -4(1^2 - 0^2) - (4(1)^2 (0)^2 + 2(1)^4) = -4 - 2 = -6
Penyebut: 6(1) - 6(0)(0) - (0)^2 (1) = 6
Jadi, nilai limitnya adalah -6/6 = -1.