Persamaan garis normal kurva y=-x^3/(x+2)^2 di titik dengan

x-5y+6=0

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis normal kurva y=-x^3/(x+2)^2 di titik dengan ordinat 1, kita perlu mencari nilai x terlebih dahulu saat y=1:
1 = -x^3/(x+2)^2
(x+2)^2 = -x^3
x^2 + 4x + 4 = -x^3
x^3 + x^2 + 4x + 4 = 0

Dengan mencoba beberapa nilai, kita temukan bahwa x=-1 adalah akar dari persamaan ini:
(-1)^3 + (-1)^2 + 4(-1) + 4 = -1 + 1 - 4 + 4 = 0

Jadi, titiknya adalah (-1, 1).

Selanjutnya, kita cari turunan pertama dari y untuk mendapatkan gradien garis singgung (m_t):
y = -x^3(x+2)^{-2}

m_t = dy/dx = -3x^2(x+2)^{-2} - x^3(-2)(x+2)^{-3}(1)
m_t = -3x^2/(x+2)^2 + 2x^3/(x+2)^3
m_t = [-3x^2(x+2) + 2x^3] / (x+2)^3
m_t = [-3x^3 - 6x^2 + 2x^3] / (x+2)^3
m_t = [-x^3 - 6x^2] / (x+2)^3

Gantikan x = -1:
m_t = [-(-1)^3 - 6(-1)^2] / (-1+2)^3
m_t = [-(-1) - 6(1)] / (1)^3
m_t = [1 - 6] / 1
m_t = -5

Gradien garis normal (m_n) adalah kebalikan negatif dari gradien garis singgung:
m_n = -1/m_t = -1/(-5) = 1/5

Persamaan garis normal dengan gradien 1/5 melalui titik (-1, 1) adalah:
y - y1 = m_n(x - x1)
y - 1 = (1/5)(x - (-1))
y - 1 = (1/5)(x + 1)
5(y - 1) = x + 1
5y - 5 = x + 1
0 = x - 5y + 1 + 5
0 = x - 5y + 6
x - 5y + 6 = 0

Namun, opsi yang diberikan adalah:
a. 5x-y-6=0
d. x-5y-6=0
b. 5x-y+6=0
e. x-5y+6=0
c. x+5y+6=0

Mari kita periksa kembali perhitungan.

Jika kita gunakan titik (x, y) di mana ordinatnya adalah 1, maka y = 1.
1 = -x^3 / (x+2)^2
(x+2)^2 = -x^3
x^2 + 4x + 4 = -x^3
x^3 + x^2 + 4x + 4 = 0

Kita dapat memfaktorkan persamaan ini:
x^2(x+1) + 4(x+1) = 0
(x^2+4)(x+1) = 0

Karena x^2+4 tidak mungkin nol untuk bilangan real, maka satu-satunya solusi real adalah x = -1.

Sekarang kita cari gradien garis singgung (m_t) menggunakan turunan:
y' = d/dx [-x^3(x+2)^-2]
y' = (-3x^2)(x+2)^-2 + (-x^3)(-2)(x+2)^-3(1)
y' = -3x^2/(x+2)^2 + 2x^3/(x+2)^3

Gantikan x = -1:
m_t = -3(-1)^2/(-1+2)^2 + 2(-1)^3/(-1+2)^3
m_t = -3(1)/(1)^2 + 2(-1)/(1)^3
m_t = -3/1 + -2/1
m_t = -3 - 2
m_t = -5

Gradien garis normal (m_n) adalah -1/m_t:
m_n = -1/(-5) = 1/5

Persamaan garis normal melalui titik (-1, 1) dengan gradien 1/5:
y - 1 = (1/5)(x - (-1))
y - 1 = (1/5)(x + 1)
5(y - 1) = x + 1
5y - 5 = x + 1
x - 5y + 6 = 0

Jadi, jawaban yang benar adalah e. x-5y+6=0.