Persamaan garis singgung di titik (4,-1) pada lingkaran

Persamaan garis singgungnya adalah 7x - 3y - 31 = 0.

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung pada lingkaran x^2 + y^2 + 6x - 4y = 45 di titik (4, -1), kita dapat menggunakan rumus turunan atau rumus umum persamaan garis singgung jika titik tersebut diketahui berada pada lingkaran.

Pertama, mari kita pastikan apakah titik (4, -1) memang terletak pada lingkaran dengan mensubstitusikan nilai x=4 dan y=-1 ke dalam persamaan lingkaran:
(4)^2 + (-1)^2 + 6(4) - 4(-1) = 16 + 1 + 24 + 4 = 45.
Karena hasilnya sama dengan konstanta di sisi kanan persamaan (45), maka titik (4, -1) memang terletak pada lingkaran.

Sekarang, kita cari persamaan garis singgungnya. Persamaan umum lingkaran adalah x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0. Dari persamaan yang diberikan, kita bisa identifikasi:
2g = 6 => g = 3
2f = -4 => f = -2
c = -45

Rumus persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada lingkaran x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 adalah:
x*x1 + y*y1 + g(x + x1) + f(y + y1) + c = 0.

Dengan titik (x1, y1) = (4, -1), g = 3, f = -2, dan c = -45, kita substitusikan:
x(4) + y(-1) + 3(x + 4) + (-2)(y + (-1)) + (-45) = 0
4x - y + 3x + 12 - 2y + 2 - 45 = 0
(4x + 3x) + (-y - 2y) + (12 + 2 - 45) = 0
7x - 3y - 31 = 0

Jadi, persamaan garis singgung di titik (4, -1) pada lingkaran tersebut adalah 7x - 3y - 31 = 0.