Persamaan garis singgung kurva f(x)=akar(2x+3) yang tegak

x - 3y + 6 = 0

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mencari persamaan garis singgung kurva f(x) = √(2x+3) yang tegak lurus dengan garis 3x + y - 2 = 0.

Langkah 1: Tentukan gradien garis 3x + y - 2 = 0.
Ubah persamaan garis ke bentuk y = mx + c:
y = -3x + 2
Jadi, gradien garis ini (m1) adalah -3.

Langkah 2: Tentukan gradien garis singgung.
Garis singgung tegak lurus dengan garis 3x + y - 2 = 0, maka berlaku m1 * m2 = -1.
-3 * m2 = -1
m2 = 1/3
Jadi, gradien garis singgung (m2) adalah 1/3.

Langkah 3: Cari turunan pertama dari f(x) = √(2x+3).
Kita bisa menulis f(x) = (2x+3)^(1/2).
Menggunakan aturan rantai, turunan f(x) adalah:
f'(x) = (1/2) * (2x+3)^(-1/2) * 2
f'(x) = (2x+3)^(-1/2)
f'(x) = 1 / √(2x+3)

Langkah 4: Cari titik singgung (x, y) dengan menyamakan f'(x) dengan gradien garis singgung (m2).
f'(x) = 1/3
1 / √(2x+3) = 1/3
√(2x+3) = 3
Kuadratkan kedua sisi:
2x + 3 = 9
2x = 6
x = 3

Sekarang cari nilai y pada titik singgung dengan memasukkan x=3 ke f(x):
f(3) = √(2*3 + 3)
f(3) = √(6 + 3)
f(3) = √9
f(3) = 3
Jadi, titik singgungnya adalah (3, 3).

Langkah 5: Tentukan persamaan garis singgung menggunakan rumus y - y1 = m(x - x1).
Dengan m = 1/3 dan titik (x1, y1) = (3, 3):
y - 3 = (1/3)(x - 3)
y - 3 = (1/3)x - 1
y = (1/3)x - 1 + 3
y = (1/3)x + 2

Untuk mengubahnya ke bentuk umum Ax + By + C = 0:
Kalikan seluruh persamaan dengan 3:
3y = x + 6
0 = x - 3y + 6
Atau x - 3y + 6 = 0.

Jadi, persamaan garis singgung kurva f(x)=akar(2x+3) yang tegak lurus garis 3x+y-2=0 adalah y = (1/3)x + 2 atau x - 3y + 6 = 0.