Buktikan bahwa 2^2n-1 habis dibagi oleh 3.

Terbukti bahwa 2^(2n) - 1 habis dibagi 3 menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Pembuktian bahwa 2^(2n) - 1 habis dibagi 3 dapat dilakukan dengan menggunakan prinsip induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n = 1, kita periksa apakah 2^(2*1) - 1 habis dibagi 3.
2^2 - 1 = 4 - 1 = 3. Karena 3 habis dibagi 3, maka pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

Langkah 2: Asumsi Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu 2^(2k) - 1 habis dibagi 3. Ini berarti 2^(2k) - 1 = 3m untuk suatu bilangan bulat m.

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1, yaitu 2^(2(k+1)) - 1 habis dibagi 3.

2^(2(k+1)) - 1 = 2^(2k + 2) - 1
= 2^(2k) * 2^2 - 1
= 2^(2k) * 4 - 1

Kita tahu dari asumsi induksi bahwa 2^(2k) = 3m + 1.
Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan:
= (3m + 1) * 4 - 1
= 12m + 4 - 1
= 12m + 3
= 3(4m + 1)

Karena 4m + 1 adalah bilangan bulat, maka 2^(2(k+1)) - 1 habis dibagi 3.

Kesimpulan: Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa 2^(2n) - 1 habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat positif n.