Persamaan hiperbola dengan puncak (-3, 2) dan (9, 2) serta

Persamaan hiperbola tersebut adalah $\frac{(x-3)^2}{36} - \frac{(y-2)^2}{64} = 1$.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan hiperbola, kita perlu mengidentifikasi pusat, sumbu transversal, dan jarak fokus.

Puncak: $(-3, 2)$ dan $(9, 2)$. Karena koordinat y sama, sumbu transversal adalah horizontal.

Pusat: Titik tengah antara puncak adalah $\left(\frac{-3+9}{2}, \frac{2+2}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{4}{2}\right) = (3, 2)$.

Jarak antara puncak: $9 - (-3) = 12$. Jadi, $2a = 12$, yang berarti $a = 6$.

Fokus: $(-7, 2)$ dan $(13, 2)$. Titik-titik ini berada pada garis horizontal yang sama dengan pusat, yang konsisten dengan sumbu transversal horizontal.

Jarak antara fokus: $13 - (-7) = 20$. Jadi, $2c = 20$, yang berarti $c = 10$.

Untuk hiperbola, hubungan antara $a$, $b$, dan $c$ adalah $c^2 = a^2 + b^2$.
Maka, $10^2 = 6^2 + b^2$
$100 = 36 + b^2$
$b^2 = 100 - 36 = 64$
$b = 8$.

Persamaan standar hiperbola horizontal dengan pusat $(h, k)$ adalah $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$.
Menggantikan nilai-nilai yang ditemukan:
$h = 3$, $k = 2$, $a^2 = 36$, $b^2 = 64$.

$\frac{(x-3)^2}{36} - \frac{(y-2)^2}{64} = 1$.

Jadi, persamaan hiperbola tersebut adalah $\frac{(x-3)^2}{36} - \frac{(y-2)^2}{64} = 1$.