Persamaan kuadrat 3x^2 - 5x + 1 =0 mempunyai akar-akar x1

y^2 - y - 3 = 0

Pembahasan

Diketahui persamaan kuadrat 3x^2 - 5x + 1 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2.

Dari Vieta's formulas, kita tahu:
x1 + x2 = -(-5)/3 = 5/3
x1 * x2 = 1/3

Kita ingin mencari persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar baru: y1 = 1/(x1 - 1) dan y2 = 1/(x2 - 1).

Untuk menemukan persamaan kuadrat baru, kita perlu mencari jumlah dan hasil kali dari akar-akar baru tersebut.

Jumlah akar-akar baru (y1 + y2):
y1 + y2 = 1/(x1 - 1) + 1/(x2 - 1)
= [(x2 - 1) + (x1 - 1)] / [(x1 - 1)(x2 - 1)]
= (x1 + x2 - 2) / (x1*x2 - x1 - x2 + 1)
= (x1 + x2 - 2) / (x1*x2 - (x1 + x2) + 1)

Substitusikan nilai x1 + x2 = 5/3 dan x1*x2 = 1/3:
y1 + y2 = (5/3 - 2) / (1/3 - 5/3 + 1)
= (5/3 - 6/3) / (1/3 - 5/3 + 3/3)
= (-1/3) / (-1/3)
= 1

Hasil kali akar-akar baru (y1 * y2):
y1 * y2 = [1/(x1 - 1)] * [1/(x2 - 1)]
= 1 / [(x1 - 1)(x2 - 1)]
= 1 / (x1*x2 - x1 - x2 + 1)
= 1 / (x1*x2 - (x1 + x2) + 1)

Substitusikan nilai x1 + x2 = 5/3 dan x1*x2 = 1/3:
y1 * y2 = 1 / (1/3 - 5/3 + 1)
= 1 / (1/3 - 5/3 + 3/3)
= 1 / (-1/3)
= -3

Persamaan kuadrat baru memiliki bentuk y^2 - (jumlah akar)y + (hasil kali akar) = 0.
Substitusikan y1 + y2 = 1 dan y1 * y2 = -3:
y^2 - (1)y + (-3) = 0
y^2 - y - 3 = 0

Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1/(x1 - 1) dan 1/(x2 - 1) adalah y^2 - y - 3 = 0.