Persamaan kuadrat 3y(y - 2) = y^2 + 20 mempunyai akar-akar

Nilai $a^2 + b^2$ adalah 29.

Pembahasan

Untuk mencari nilai $a^2 + b^2$ dari persamaan kuadrat $3y(y - 2) = y^2 + 20$ yang memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:
1. Ubah persamaan menjadi bentuk standar $Ay^2 + By + C = 0$:
   $3y^2 - 6y = y^2 + 20$
   $3y^2 - y^2 - 6y - 20 = 0$
   $2y^2 - 6y - 20 = 0$
   Bagi seluruh persamaan dengan 2 untuk menyederhanakan:
   $y^2 - 3y - 10 = 0$

2. Tentukan nilai jumlah akar ($\alpha + \beta$) dan hasil kali akar ($\alpha \beta$) menggunakan rumus Vieta:
   Dari persamaan $y^2 - 3y - 10 = 0$, kita punya $A=1$, $B=-3$, $C=-10$.
   Jumlah akar: $\alpha + \beta = -B/A = -(-3)/1 = 3$
   Hasil kali akar: $\alpha \beta = C/A = -10/1 = -10$

3. Gunakan identitas aljabar untuk mencari $a^2 + b^2$:
   Kita tahu bahwa $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$.
   Maka, $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$.

4. Substitusikan nilai jumlah dan hasil kali akar:
   $\alpha^2 + \beta^2 = (3)^2 - 2(-10)$
   $\alpha^2 + \beta^2 = 9 - (-20)$
   $\alpha^2 + \beta^2 = 9 + 20$
   $\alpha^2 + \beta^2 = 29$

Jadi, nilai $a^2 + b^2$ adalah 29.