Persamaan lingkaranyang berpusat di (1,-10) dan menyinggung

Persamaan lingkaran adalah (x-1)^2 + (y+10)^2 = 25.

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang berpusat di $(h, k)$ dengan jari-jari $r$ adalah $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$. Dalam kasus ini, pusat lingkaran adalah $(1, -10)$, jadi $h=1$ dan $k=-10$. Lingkaran menyinggung garis lurus $3x - y\sqrt{3} = 3$. Jari-jari lingkaran adalah jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung tersebut. Rumus jarak dari titik $(x_0, y_0)$ ke garis $Ax + By + C = 0$ adalah $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

Pertama, ubah persamaan garis menjadi bentuk umum $Ax + By + C = 0$: $3x - y\sqrt{3} - 3 = 0$. Di sini, $A=3$, $B=-\sqrt{3}$, dan $C=-3$. Titik pusatnya adalah $(x_0, y_0) = (1, -10)$.

Hitung jarak (jari-jari, $r$):
$r = \frac{|3(1) + (-\sqrt{3})(-10) - 3|}{\sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2}}$
$r = \frac{|3 + 10\sqrt{3} - 3|}{\sqrt{9 + 3}}$
$r = \frac{|10\sqrt{3}|}{\sqrt{12}}$
$r = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{4 \times 3}}$
$r = \frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$
$r = 5$

Sekarang kita memiliki pusat $(h, k) = (1, -10)$ dan jari-jari $r=5$. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan lingkaran:
$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$
$(x-1)^2 + (y-(-10))^2 = 5^2$
$(x-1)^2 + (y+10)^2 = 25$

Ini adalah persamaan lingkaran yang dicari.