Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut 1/2

$y = 2x^2 - x - 1$

Pembahasan

Misalkan persamaan kurva semula adalah $x' = f(y', x')$. Rotasi pusat O bersudut 1/2 pi menghasilkan transformasi: $x' = -y$ dan $y' = x$. Kemudian, dilatasi [0, 2] menghasilkan transformasi: $x'' = 2x'$ dan $y'' = 2y'$. Persamaan peta kurva adalah $x'' = 2 + y'' - (y'')^2$. Substitusikan transformasi dilatasi ke dalam persamaan peta: $x = 2 + 2y' - (2y')^2$. Selanjutnya, substitusikan transformasi rotasi: $x = 2 + 2(x) - (2x)^2$. Sederhanakan persamaan: $x = 2 + 2x - 4x^2$. Susun ulang menjadi bentuk standar: $4x^2 - x - 2 = 0$. Ini adalah persamaan kuadrat, bukan persamaan kurva semula. Mari kita coba pendekatan lain. Persamaan peta: $x_{peta} = 2 + y_{peta} - y_{peta}^2$. Transformasi rotasi: $x_{rot} = -y_{asli}$, $y_{rot} = x_{asli}$. Transformasi dilatasi: $x_{peta} = 2x_{rot}$, $y_{peta} = 2y_{rot}$. Substitusikan transformasi dilatasi ke persamaan peta: $x_{peta}/2 = 2 + y_{peta}/2 - (y_{peta}/2)^2$. Substitusikan transformasi rotasi ke persamaan ini: $x_{asli}/2 = 2 + x_{asli}/2 - (x_{asli}/2)^2$. Kalikan kedua sisi dengan 2: $x_{asli} = 2 + x_{asli} - x_{asli}^2/2$. Sederhanakan: $0 = 2 - x_{asli}^2/2$. $x_{asli}^2/2 = 2$. $x_{asli}^2 = 4$. $x_{asli} = \\{+/-}\\ 2$. Ini juga bukan persamaan kurva. Mari kita periksa kembali soalnya. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut 1/2 pi, dilanjutkan dilatasi [0, 2] adalah $x = 2 + y - y^2$. Ini berarti setelah rotasi dan dilatasi, persamaan kurva menjadi $x = 2 + y - y^2$. Mari kita gunakan notasi $(x_0, y_0)$ untuk titik pada kurva asli, $(x_1, y_1)$ setelah rotasi, dan $(x_2, y_2)$ setelah dilatasi. Rotasi 1/2 pi: $x_1 = -y_0$, $y_1 = x_0$. Dilatasi [0, 2]: $x_2 = 2x_1$, $y_2 = 2y_1$. Persamaan peta: $x_2 = 2 + y_2 - y_2^2$. Substitusikan transformasi dilatasi ke persamaan peta: $2x_1 = 2 + 2y_1 - (2y_1)^2$. $2x_1 = 2 + 2y_1 - 4y_1^2$. Sekarang substitusikan transformasi rotasi: $2(-y_0) = 2 + 2(x_0) - 4(x_0)^2$. $-2y_0 = 2 + 2x_0 - 4x_0^2$. $2y_0 = -2 - 2x_0 + 4x_0^2$. $y_0 = -1 - x_0 + 2x_0^2$. Jadi, persamaan kurva semula adalah $y = 2x^2 - x - 1$.