Persamaan x^3+2x^2-15x+k=0 mempunyai sepasang akar sama.

k = -36 atau k = 400/27

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah x³ + 2x² - 15x + k = 0.
Diketahui bahwa persamaan ini mempunyai sepasang akar sama. Misalkan akar-akarnya adalah \(\alpha, \alpha, \beta\).

Dari teorema Vieta, kita tahu:
1. Jumlah akar-akar: \(\alpha + \alpha + \beta = -2 \implies 2\alpha + \beta = -2\)
2. Jumlah hasil kali akar-akar berdua: \(\alpha \cdot \alpha + \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \beta = -15 \implies \alpha^2 + 2\alpha\beta = -15\)
3. Hasil kali akar-akar: \(\alpha \cdot \alpha \cdot \beta = -k \implies \alpha^2\beta = -k\)

Dari persamaan (1), kita dapat menyatakan \(\beta = -2 - 2\alpha\).
Substitusikan \(\beta\) ke persamaan (2):
\(\alpha^2 + 2\alpha(-2 - 2\alpha) = -15\)
\(\alpha^2 - 4\alpha - 4\alpha^2 = -15\)
\(-3\alpha^2 - 4\alpha = -15\)
\(3\alpha^2 + 4\alpha - 15 = 0\)
Faktorkan persamaan kuadrat ini:
\((3\alpha - 5)(\alpha + 3) = 0\)

Maka, \(\alpha = \frac{5}{3}\) atau \(\alpha = -3\).

Sekarang kita cari nilai \(k\) untuk setiap kemungkinan nilai \(\alpha\).

Kasus 1: \(\alpha = \frac{5}{3}\)
\(\beta = -2 - 2(\frac{5}{3}) = -2 - \frac{10}{3} = \frac{-6 - 10}{3} = -\frac{16}{3}\)
\(k = -\alpha^2\beta = -(\frac{5}{3})^2(-\frac{16}{3}) = -(\frac{25}{9})(-\frac{16}{3}) = \frac{400}{27}\)

Kasus 2: \(\alpha = -3\)
\(\beta = -2 - 2(-3) = -2 + 6 = 4\)
\(k = -\alpha^2\beta = -(-3)^2(4) = -(9)(4) = -36\)

Nilai \(k\) yang memenuhi adalah \(\frac{400}{27}\) atau \(-36\). Jawaban yang paling umum diharapkan dalam konteks soal seperti ini adalah bilangan bulat, sehingga \(k = -36\) adalah jawaban yang lebih mungkin dimaksud.