Persamaan x^3 - 5px^2 + 9px - 5 = 0 mempunyai sepasang akar

Nilai p adalah 3/2, dan akar-akarnya adalah 1/2, 2, dan 5.

Pembahasan

Diberikan persamaan polinomial x^3 - 5px^2 + 9px - 5 = 0. Diketahui bahwa persamaan ini memiliki sepasang akar yang berkebalikan.

Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah α, β, dan γ.
Jika sepasang akar berkebalikan, misalnya α dan 1/α, maka akar-akarnya adalah α, 1/α, dan β.

Dari teorema Vieta untuk persamaan kubik ax^3 + bx^2 + cx + d = 0:
1. Jumlah akar: α + β + γ = -b/a
2. Jumlah hasil kali akar berpasangan: αβ + αγ + βγ = c/a
3. Hasil kali akar: αβγ = -d/a

Dalam persamaan kita, a=1, b=-5p, c=9p, dan d=-5.

Menerapkan teorema Vieta:
1. α + 1/α + β = -(-5p)/1 = 5p
2. α(1/α) + αβ + (1/α)β = 9p/1 => 1 + β(α + 1/α) = 9p
3. α(1/α)β = -(-5)/1 => β = 5

Dari hasil kali akar (3), kita langsung mendapatkan nilai β = 5.

Sekarang substitusikan β = 5 ke dalam persamaan (2):
1 + 5(α + 1/α) = 9p

Dan substitusikan β = 5 ke dalam persamaan (1):
α + 1/α + 5 = 5p

Dari persamaan terakhir ini, kita bisa mendapatkan ekspresi untuk 5p:
5p = α + 1/α + 5

Substitusikan ekspresi 5p ini ke dalam persamaan yang dimodifikasi dari (2):
1 + 5(α + 1/α) = 9p
1 + 5(α + 1/α) = (9/5) * (5p)
1 + 5(α + 1/α) = (9/5) * (α + 1/α + 5)
Kalikan kedua sisi dengan 5 untuk menghilangkan pecahan:
5 + 25(α + 1/α) = 9(α + 1/α + 5)
5 + 25(α + 1/α) = 9(α + 1/α) + 45
Kurangi kedua sisi dengan 9(α + 1/α):
5 + 16(α + 1/α) = 45
Kurangi kedua sisi dengan 5:
16(α + 1/α) = 40
Bagi kedua sisi dengan 16:
α + 1/α = 40 / 16
α + 1/α = 5 / 2

Sekarang kita bisa mencari nilai p menggunakan ekspresi 5p = α + 1/α + 5:
5p = (5/2) + 5
5p = 5/2 + 10/2
5p = 15/2
p = (15/2) / 5
p = 15/10
p = 3/2

Untuk mencari akar-akar α dan 1/α, kita gunakan α + 1/α = 5/2.
Kalikan dengan α:
α^2 + 1 = (5/2)α
2α^2 + 2 = 5α
2α^2 - 5α + 2 = 0
Faktorkan persamaan kuadrat ini:
(2α - 1)(α - 2) = 0

Maka, α = 1/2 atau α = 2.
Jika α = 1/2, maka 1/α = 2.
Jika α = 2, maka 1/α = 1/2.

Jadi, akar-akarnya adalah 1/2, 2, dan 5.
Nilai p adalah 3/2.