Persegi panjang ABCD, lebarnya 8 cm dan panjangnya 10 cm.

Luas minimum segitiga ECF adalah 8 cm^2.

Pembahasan

Untuk mencari luas minimum segitiga ECF, kita perlu memahami bagaimana luas segitiga tersebut berubah seiring dengan perubahan nilai x.

Persegi panjang ABCD memiliki:
*   Lebar = 8 cm
*   Panjang = 10 cm

Titik E terletak pada AD, sehingga AE = x cm. Ini berarti ED = AB - AE = 10 - x cm (jika E di AB, tapi dari gambar E di AD). Dari gambar, E terletak pada AD, sehingga AE = x cm dan ED = AD - AE = 8 - x cm.
Titik F terletak pada CD, sehingga DF = x cm. Ini berarti CF = CD - DF = 10 - x cm.

Perhatikan segitiga ECF:
*   Alas segitiga bisa kita ambil EC atau CF.
*   Jika kita ambil alasnya CF = 10 - x cm.
*   Tinggi segitiga terhadap alas CF adalah jarak dari titik E ke garis CD. Jarak ini sama dengan panjang sisi AD atau BC, yaitu 8 cm, dikurangi jarak dari D ke titik E pada sisi AD (jika E di AD). Namun, lebih mudah jika kita memproyeksikan E ke garis yang sejajar CD.

Mari kita gunakan pendekatan yang lebih sistematis dengan koordinat atau identifikasi alas dan tinggi yang tepat:

Kita tahu bahwa ABCD adalah persegi panjang. Misalkan A=(0,8), B=(10,8), C=(10,0), D=(0,0).

*   Titik E terletak pada AD. Sisi AD adalah sumbu y dari y=0 hingga y=8. Jika AE = x cm, maka E berada pada koordinat (0, 8-x).
*   Titik F terletak pada CD. Sisi CD adalah sumbu x dari x=0 hingga x=10. Jika DF = x cm, maka F berada pada koordinat (x, 0).

Kita ingin mencari luas segitiga ECF.
*   Titik E = (0, 8-x)
*   Titik C = (10, 0)
*   Titik F = (x, 0)

Kita dapat menggunakan rumus luas segitiga dengan koordinat: Luas = 1/2 |(x_E(y_C - y_F) + x_C(y_F - y_E) + x_F(y_E - y_C))|
Luas = 1/2 |(0(0 - 0) + 10(0 - (8-x)) + x((8-x) - 0))|
Luas = 1/2 |(0 + 10(-(8-x)) + x(8-x))|
Luas = 1/2 |(-80 + 10x + 8x - x^2)|
Luas = 1/2 |(-x^2 + 18x - 80)|

Karena luas harus positif, kita ambil nilai absolut:
Luas = 1/2 |-x^2 + 18x - 80|

Untuk mencari luas minimum, kita perlu mencari nilai x yang meminimalkan fungsi kuadrat $f(x) = -x^2 + 18x - 80$. Fungsi ini adalah parabola terbuka ke bawah, jadi nilai minimumnya akan terjadi di ujung interval domain x.

Batasan untuk x:
*   E pada AD: 0 <= AE <= AD, jadi 0 <= x <= 8.
*   F pada CD: 0 <= DF <= CD, jadi 0 <= x <= 10.
Jadi, domain x adalah 0 <= x <= 8.

Mari kita analisis fungsi kuadrat $g(x) = -x^2 + 18x - 80$ pada interval [0, 8].
Puncak parabola terjadi pada $x = -b / (2a) = -18 / (2 * -1) = -18 / -2 = 9$.
Karena puncak parabola (x=9) berada di luar interval [0, 8], nilai minimum dan maksimum akan terjadi di ujung interval.

Mari kita evaluasi luas pada x=0 dan x=8:

Jika x = 0:
*   E = (0, 8)
*   F = (0, 0)
*   C = (10, 0)
    Segitiga ECF adalah segitiga siku-siku dengan alas EC (sepanjang sumbu y) dan tinggi adalah jarak horizontal dari C ke sumbu y, yaitu 10.
    Atau, alas CF = 0, tinggi = 8. Ini tidak membentuk segitiga.
    Jika F=D=(0,0), E=A=(0,8), C=(10,0). Segitiga menjadi ADC. Luasnya 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * 10 * 8 = 40.
    Menggunakan rumus luas: Luas = 1/2 |-(0)^2 + 18(0) - 80| = 1/2 |-80| = 40 cm^2.

Jika x = 8:
*   E = (0, 0) -> E berimpit dengan D.
*   F = (8, 0)
*   C = (10, 0)
    Titik E, F, C terletak pada satu garis (sumbu x). Ini tidak membentuk segitiga.
    Mari kita periksa ulang pemahaman soal atau gambar.

Persegi panjang ABCD, lebarnya 8 cm (misal AD=BC=8) dan panjangnya 10 cm (misal AB=CD=10).
Titik E pada AD, AE = x cm. Maka ED = 8 - x cm.
Titik F pada CD, DF = x cm. Maka CF = 10 - x cm.

Kita ingin mencari luas segitiga ECF.
Alas segitiga adalah CF = 10 - x cm.
Tinggi segitiga terhadap alas CF adalah jarak vertikal dari E ke garis CD. Jarak ini sama dengan panjang sisi AD atau BC, yaitu 8 cm.

Luas Segitiga ECF = 1/2 * alas * tinggi
Luas = 1/2 * CF * (jarak E ke CD)
Luas = 1/2 * (10 - x) * 8
Luas = 4 * (10 - x)
Luas = 40 - 4x

Sekarang kita perlu mencari luas minimum dari fungsi Luas = 40 - 4x.
Domain untuk x:
*   E pada AD, AE = x, maka 0 <= x <= AD, jadi 0 <= x <= 8.
*   F pada CD, DF = x, maka 0 <= x <= CD, jadi 0 <= x <= 10.
Irisan kedua kondisi adalah 0 <= x <= 8.

Fungsi Luas = 40 - 4x adalah fungsi linier dengan gradien negatif (-4). Ini berarti nilai luas akan minimum ketika x bernilai maksimum dalam domainnya.

Nilai x maksimum dalam domain [0, 8] adalah x = 8.

Jika x = 8:
Luas = 40 - 4(8)
Luas = 40 - 32
Luas = 8 cm^2

Mari kita periksa interpretasi lain dari gambar:
Jika lebar 8 cm adalah AB, dan panjang 10 cm adalah BC.
Persegi panjang ABCD.
Lebar = AB = CD = 8 cm
Panjang = BC = AD = 10 cm

Titik E pada AE = x cm. Jika E pada AD, maka AE=x, ED = 10-x.
Titik F pada DF = x cm. Jika F pada CD, maka DF=x, CF = 8-x.

Luas segitiga ECF:
Alas = CF = 8 - x cm.
Tinggi = jarak E ke CD. Jarak ini sama dengan panjang AD atau BC, yaitu 10 cm.

Luas = 1/2 * alas * tinggi
Luas = 1/2 * (8 - x) * 10
Luas = 5 * (8 - x)
Luas = 40 - 5x

Domain untuk x:
*   E pada AD, AE = x, maka 0 <= x <= AD, jadi 0 <= x <= 10.
*   F pada CD, DF = x, maka 0 <= x <= CD, jadi 0 <= x <= 8.
Irisan kedua kondisi adalah 0 <= x <= 8.

Fungsi Luas = 40 - 5x adalah fungsi linier dengan gradien negatif (-5). Nilai luas akan minimum ketika x bernilai maksimum dalam domainnya.

Nilai x maksimum dalam domain [0, 8] adalah x = 8.

Jika x = 8:
Luas = 40 - 5(8)
Luas = 40 - 40
Luas = 0 cm^2.
Ini berarti E berimpit dengan D, dan F berimpit dengan C. Luas segitiga ECF adalah 0, yang merupakan luas minimum yang mungkin terjadi (meskipun mungkin tidak dianggap sebagai segitiga yang valid).

Mari kita lihat kembali gambar dan deskripsi soal.
Persegi panjang ABCD, lebarnya 8 cm dan panjangnya 10 cm. Titik-titik E dan F berturut-turut terletak pada AE = DF = x cm.
Dari gambar, AD adalah sisi vertikal (8 cm) dan CD adalah sisi horizontal (10 cm).
Jadi, AB = CD = 10 cm dan AD = BC = 8 cm.

*   Titik E pada AD, AE = x cm. Maka ED = AD - AE = 8 - x cm.
*   Titik F pada CD, DF = x cm. Maka CF = CD - DF = 10 - x cm.

Kita ingin mencari luas segitiga ECF.
*   Alas segitiga = CF = 10 - x cm.
*   Tinggi segitiga terhadap alas CF adalah jarak vertikal dari E ke garis CD. Jarak ini sama dengan panjang sisi AD atau BC, yaitu 8 cm.

Luas Segitiga ECF = 1/2 * alas * tinggi
Luas = 1/2 * CF * (jarak E ke CD)
Luas = 1/2 * (10 - x) * 8
Luas = 4 * (10 - x)
Luas = 40 - 4x

Domain untuk x:
*   E pada AD, AE = x, maka 0 <= x <= AD, jadi 0 <= x <= 8.
*   F pada CD, DF = x, maka 0 <= x <= CD, jadi 0 <= x <= 10.
Irisan kedua kondisi adalah 0 <= x <= 8.

Fungsi Luas = 40 - 4x adalah fungsi linier menurun. Luas minimum terjadi ketika x maksimum.
Nilai x maksimum dalam domain [0, 8] adalah x = 8.

Jika x = 8:
Luas = 40 - 4(8) = 40 - 32 = 8 cm^2.

Sekarang, mari kita pertimbangkan kasus jika penamaan sisi terbalik:
Misalkan AB = CD = 8 cm dan AD = BC = 10 cm.

*   Titik E pada AD, AE = x cm. Maka ED = AD - AE = 10 - x cm.
*   Titik F pada CD, DF = x cm. Maka CF = CD - DF = 8 - x cm.

Luas segitiga ECF:
*   Alas segitiga = CF = 8 - x cm.
*   Tinggi segitiga terhadap alas CF adalah jarak vertikal dari E ke garis CD. Jarak ini sama dengan panjang sisi AD atau BC, yaitu 10 cm.

Luas Segitiga ECF = 1/2 * alas * tinggi
Luas = 1/2 * CF * (jarak E ke CD)
Luas = 1/2 * (8 - x) * 10
Luas = 5 * (8 - x)
Luas = 40 - 5x

Domain untuk x:
*   E pada AD, AE = x, maka 0 <= x <= AD, jadi 0 <= x <= 10.
*   F pada CD, DF = x, maka 0 <= x <= CD, jadi 0 <= x <= 8.
Irisan kedua kondisi adalah 0 <= x <= 8.

Fungsi Luas = 40 - 5x adalah fungsi linier menurun. Luas minimum terjadi ketika x maksimum.
Nilai x maksimum dalam domain [0, 8] adalah x = 8.

Jika x = 8:
Luas = 40 - 5(8) = 40 - 40 = 0 cm^2.

Kembali ke interpretasi pertama yang lebih sesuai dengan gambar (panjang 10 cm horizontal, lebar 8 cm vertikal):
Persegi panjang ABCD, AB=CD=10 cm, AD=BC=8 cm.
E pada AD, AE = x cm.
F pada CD, DF = x cm.

Luas segitiga ECF = 1/2 * CF * ED' (dimana ED' adalah tinggi dari E ke CD).
Tinggi = AD = 8 cm.
Alas CF = CD - DF = 10 - x cm.
Luas = 1/2 * (10 - x) * 8 = 4(10 - x) = 40 - 4x.
Domain x: 0 <= x <= 8.
Luas minimum terjadi saat x = 8, Luas = 40 - 4(8) = 8 cm^2.

Bagaimana jika titik E pada AB dan F pada BC?
Persegi panjang ABCD, AB=10, BC=8.
E pada AB, AE = x. EB = 10-x.
F pada BC, BF = x. FC = 8-x.

Luas segitiga ECF:
Alas EC? Tinggi dari F ke EC?
Atau, kita bisa hitung luas total dikurangi luas segitiga lain.
Luas ABCD = 10 * 8 = 80.
Luas segitiga ADE (jika E pada AB, D=sudut, AD=8, AE=x. Maka E di AB, jadi kita perlu titik D dan E. Jika E di AB, maka AE=x, EB=10-x. Titik D adalah sudut 90 derajat. Segitiga ADE tidak terbentuk dengan informasi ini).

Mari kita gunakan gambar yang diberikan. Persegi panjang dengan sisi horizontal 10 cm dan sisi vertikal 8 cm.
Sudut A di kiri atas, B di kanan atas, C di kanan bawah, D di kiri bawah.
Sisi AB = 10 cm, BC = 8 cm, CD = 10 cm, DA = 8 cm.

Titik E pada AD, AE = x cm. Maka ED = 8 - x cm.
Titik F pada CD, DF = x cm. Maka CF = 10 - x cm.

Luas Segitiga ECF:
Alas = CF = 10 - x cm.
Tinggi = jarak E ke garis CD. Ini adalah panjang sisi AD = 8 cm.

Luas(ECF) = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * (10 - x) * 8 = 4(10 - x) = 40 - 4x.
Domain x: 0 <= x <= 8 (karena E pada AD yang panjangnya 8 cm).

Luas minimum terjadi ketika x maksimum, yaitu x = 8.
Luas minimum = 40 - 4(8) = 40 - 32 = 8 cm^2.

Jika E pada AB, AE = x cm.
Jika F pada BC, BF = x cm.

Luas ABCD = 10 * 8 = 80.
Luas segitiga ADE = 1/2 * AE * AD = 1/2 * x * 8 = 4x (jika E pada AB, D adalah sudut di kiri bawah).
Ini tidak sesuai dengan penamaan sudut ABCD standar.

Kembali ke interpretasi yang paling masuk akal dari penamaan E pada AD dan F pada CD, dengan dimensi gambar:
Persegi panjang ABCD. Sisi horizontal CD=10, sisi vertikal AD=8.
E pada AD, AE=x.
F pada CD, DF=x.

Luas segitiga ECF = 1/2 * CF * (tinggi dari E ke CD).
Tinggi dari E ke CD = AD = 8 cm.
Panjang CF = CD - DF = 10 - x cm.
Luas = 1/2 * (10 - x) * 8 = 4(10 - x) = 40 - 4x.
Domain x: 0 <= x <= 8.
Luas minimum terjadi pada x=8, yaitu 8 cm^2.

Mari kita cek jika E dan F berada pada sisi lain:
Jika E pada AB, AE = x cm. Maka EB = 10 - x cm.
Jika F pada BC, BF = x cm. Maka FC = 8 - x cm.
Luas segitiga ECF:
Kita bisa gunakan Luas(ABCD) - Luas(ADE) - Luas(EBF) - Luas(FCD).
Ini tidak membantu karena kita mencari luas ECF.

Coba hitung luas ECF dengan alas dan tinggi:
Alas CF = 8 - x cm.
Tinggi dari E ke BC (yang sejajar dengan CD) adalah jarak dari E ke garis BC. Ini sama dengan panjang AB - AE = 10 - x cm.

Luas Segitiga ECF:
Jika kita ambil alas EC, maka kita perlu tinggi dari F ke EC.
Jika kita ambil alas FC = 8 - x.
Tinggi dari E ke garis yang memuat FC (yaitu garis CD/AB) adalah jarak dari E ke CD.
Jika E pada AB, maka jarak E ke CD adalah AD = 8 cm.

Luas = 1/2 * FC * (tinggi dari E ke CD)
Luas = 1/2 * (8 - x) * 8
Luas = 4 * (8 - x) = 32 - 4x.
Domain x: 0 <= x <= 10 (karena E pada AB yang panjangnya 10 cm).

Jika x = 0, Luas = 32.
Jika x = 10, Luas = 32 - 40 = -8 (tidak mungkin).

Mari kita kembali ke interpretasi awal yang paling konsisten dengan gambar dan penamaan:
Persegi panjang ABCD, sisi horizontal CD=10, sisi vertikal AD=8.
E pada AD, AE=x.
F pada CD, DF=x.

Luas segitiga ECF = 1/2 * CF * (tinggi dari E ke CD).
Tinggi dari E ke CD = AD = 8 cm.
Alas CF = CD - DF = 10 - x cm.

Luas = 1/2 * (10 - x) * 8 = 4(10 - x) = 40 - 4x.
Domain x: 0 <= x <= 8 (karena E pada AD yang panjangnya 8 cm).

Fungsi Luas = 40 - 4x adalah fungsi linier menurun. Luas minimum terjadi ketika x maksimum.
Nilai x maksimum dalam domain [0, 8] adalah x = 8.

Jika x = 8:
Luas = 40 - 4(8) = 40 - 32 = 8 cm^2.

Ini adalah luas minimum yang terjadi ketika E berimpit dengan D (AE = 8, ED = 0) dan F berada pada CD sehingga DF = 8 (CF = 2).
Dalam kasus ini, segitiga ECF adalah segitiga dengan alas CF = 2 cm dan tinggi ED' (jarak dari E ke garis CD) = AD = 8 cm. Namun E berimpit dengan D. Jadi segitiga EDF. Luasnya 1/2 * DF * ED = 1/2 * 8 * 0 = 0.

Mari kita gunakan titik-titik:
C=(10,0), D=(0,0), A=(0,8), B=(10,8).
Lebar=8 (AD), Panjang=10 (CD).

E pada AD, AE = x. Koordinat E = (0, 8-x).
F pada CD, DF = x. Koordinat F = (x, 0).

Luas Segitiga ECF:
E = (0, 8-x)
C = (10, 0)
F = (x, 0)

Alas segitiga = CF = jarak dari (x,0) ke (10,0) = |10 - x| = 10 - x (karena x<=10).
Titik F pada CD, DF=x. Jarak dari D ke F adalah x. Jadi F ada di (x,0).

Kita ambil alasnya adalah segmen CF pada sumbu x.
Panjang alas CF = Jarak dari F ke C = Jarak dari (x,0) ke (10,0) = |10 - x| = 10 - x.

Tinggi segitiga adalah jarak vertikal dari titik E ke garis sumbu x (yang memuat CF).
Koordinat E = (0, 8-x).
Tinggi = |8 - x| = 8 - x (karena x <= 8).

Luas = 1/2 * alas * tinggi
Luas = 1/2 * (10 - x) * (8 - x)
Luas = 1/2 * (80 - 10x - 8x + x^2)
Luas = 1/2 * (x^2 - 18x + 80)

Sekarang kita perlu mencari luas minimum dari fungsi kuadrat $L(x) = \frac{1}{2}x^2 - 9x + 40$ pada domain 0 <= x <= 8.
Ini adalah parabola terbuka ke atas. Nilai minimum terjadi di puncak parabola atau di ujung interval.

Puncak parabola terjadi pada $x = -b / (2a) = -(-9) / (2 * 1/2) = 9 / 1 = 9$.

Karena puncak parabola (x=9) berada di luar interval [0, 8], nilai minimum akan terjadi di ujung interval yang terdekat dengan puncak, yaitu x=8.

Mari kita evaluasi luas pada x=0 dan x=8:

Jika x = 0:
*   E = (0, 8) -> E berimpit dengan A.
*   F = (0, 0) -> F berimpit dengan D.
    Segitiga ECF menjadi segitiga ACF, yaitu segitiga ACD.
    Luas = 1/2 * CD * AD = 1/2 * 10 * 8 = 40 cm^2.
    Menggunakan rumus: Luas = 1/2 * (0^2 - 18*0 + 80) = 1/2 * 80 = 40 cm^2.

Jika x = 8:
*   E = (0, 0) -> E berimpit dengan D.
*   F = (8, 0)
    Segitiga ECF menjadi segitiga DCF (dengan E=D).
    Alas CF = |10 - 8| = 2 cm.
Tinggi dari E=D ke garis CD adalah 0.
Ini berarti luasnya 0.

Mari kita periksa kembali koordinat dan penentuan alas/tinggi.

Persegi panjang ABCD, AB=10, BC=8. Maka CD=10, AD=8.
E pada AD, AE = x. Maka ED = 8 - x.
F pada CD, DF = x. Maka CF = 10 - x.

Luas Segitiga ECF:
Ambil alas CF = 10 - x.
Tinggi segitiga adalah jarak dari E ke garis CD. Jarak ini adalah panjang AD = 8 cm.

Luas = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * (10 - x) * 8 = 4(10 - x) = 40 - 4x.
Domain x: 0 <= x <= 8 (karena E pada AD yang panjangnya 8 cm).

Fungsi Luas = 40 - 4x adalah fungsi linier menurun.
Luas minimum terjadi ketika x maksimum.
Nilai x maksimum dalam domain [0, 8] adalah x = 8.

Jika x = 8:
Luas = 40 - 4(8) = 40 - 32 = 8 cm^2.

Mari kita periksa jika ada interpretasi lain dari soal.