Lingkaran (x-3)^2+(y-4)^2=25 memotong sumbu-x di titik A

7/25

Pembahasan

Diketahui persamaan lingkaran (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25.
Titik pusat lingkaran P adalah (3, 4).
Jari-jari lingkaran r adalah akar kuadrat dari 25, yaitu r = 5.
Lingkaran memotong sumbu-x di titik A dan B. Pada sumbu-x, nilai y = 0.
Kita substitusikan y = 0 ke dalam persamaan lingkaran:
(x-3)^2 + (0-4)^2 = 25
(x-3)^2 + (-4)^2 = 25
(x-3)^2 + 16 = 25
(x-3)^2 = 25 - 16
(x-3)^2 = 9
Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
x - 3 = ±3

Kasus 1: x - 3 = 3
x = 3 + 3
x = 6
Jadi, salah satu titik potong dengan sumbu-x adalah A = (6, 0).

Kasus 2: x - 3 = -3
x = 3 - 3
x = 0
Jadi, titik potong lainnya dengan sumbu-x adalah B = (0, 0).

Kita perlu mencari cos sudut APB. Titik P adalah (3, 4), A adalah (6, 0), dan B adalah (0, 0).
Kita dapat menggunakan vektor atau aturan kosinus untuk mencari sudut APB.

Metode Vektor:
Hitung vektor PA dan PB.
Vektor PA = A - P = (6 - 3, 0 - 4) = (3, -4)
Vektor PB = B - P = (0 - 3, 0 - 4) = (-3, -4)

Hitung dot product dari PA dan PB:
PA · PB = (3)(-3) + (-4)(-4) = -9 + 16 = 7.

Hitung magnitudo dari PA dan PB:
|PA| = sqrt(3^2 + (-4)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5.
|PB| = sqrt((-3)^2 + (-4)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5.

Rumus dot product juga menyatakan: PA · PB = |PA| |PB| cos(θ), di mana θ adalah sudut APB.
7 = (5)(5) cos(θ)
7 = 25 cos(θ)
cos(θ) = 7/25.

Metode Aturan Kosinus:
Kita perlu panjang sisi segitiga APB. Kita sudah memiliki PA = 5 dan PB = 5 (ini adalah jari-jari lingkaran).
Kita perlu panjang sisi AB.
Jarak antara A(6, 0) dan B(0, 0) adalah:
AB = sqrt((6-0)^2 + (0-0)^2) = sqrt(6^2 + 0^2) = sqrt(36) = 6.

Dalam segitiga APB, dengan sisi PA=5, PB=5, dan AB=6, kita gunakan aturan kosinus untuk mencari sudut P (sudut APB).
AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2(PA)(PB) cos(∠APB)
6^2 = 5^2 + 5^2 - 2(5)(5) cos(∠APB)
36 = 25 + 25 - 50 cos(∠APB)
36 = 50 - 50 cos(∠APB)
50 cos(∠APB) = 50 - 36
50 cos(∠APB) = 14
cos(∠APB) = 14 / 50
cos(∠APB) = 7 / 25.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.
Jadi, cos sudut APB adalah 7/25.