Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap

12 kursi

Pembahasan

Ini adalah soal program linear yang bertujuan untuk memaksimalkan pendapatan.

Misalkan:
- $x$ = jumlah tempat duduk kelas utama
- $y$ = jumlah tempat duduk kelas ekonomi

Kendala yang ada:
1. Kapasitas pesawat: $x + y \leq 48$ (Jumlah total tempat duduk tidak boleh melebihi 48).
2. Kapasitas bagasi: $60x + 20y \leq 1440$ (Total berat bagasi tidak boleh melebihi 1440 kg). Kita bisa menyederhanakan ini dengan membagi semua suku dengan 20: $3x + y \leq 72$.
3. Jumlah tempat duduk tidak boleh negatif: $x \geq 0$ dan $y \geq 0$.

Fungsi tujuan (pendapatan yang ingin dimaksimalkan):
$Z = 150000x + 100000y$

Kita perlu mencari nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi kendala dan memaksimalkan $Z$. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

a. Menggambar daerah yang memenuhi kendala (daerah fisibel).
   - $x + y = 48$ (Garis 1)
   - $3x + y = 72$ (Garis 2)
   - $x = 0$ (Sumbu y)
   - $y = 0$ (Sumbu x)

b. Mencari titik-titik pojok daerah fisibel.
   Titik potong Garis 1 dan Garis 2:
   Kurangkan Garis 1 dari Garis 2:
   $(3x + y) - (x + y) = 72 - 48$
   $2x = 24$
   $x = 12$
   Substitusikan $x = 12$ ke Garis 1:
   $12 + y = 48$
   $y = 36$
   Jadi, titik potongnya adalah (12, 36).

   Titik potong Garis 1 dengan sumbu x ($y=0$):
   $x + 0 = 48 
   x = 48$. Titik (48, 0).

   Titik potong Garis 2 dengan sumbu y ($x=0$):
   $3(0) + y = 72 
   y = 72$. Titik (0, 72). Namun, ini di luar kendala $x+y \leq 48$. Jadi, kita perlu titik potong Garis 1 dengan sumbu y ($x=0$):
   $0 + y = 48 
   y = 48$. Titik (0, 48).

   Titik pojok yang relevan adalah:
   - (0, 0)
   - (48, 0) (jika pesawat hanya kelas utama)
   - (0, 48) (jika pesawat hanya kelas ekonomi)
   - (12, 36) (titik potong kedua kendala)

c. Mengevaluasi fungsi tujuan pada setiap titik pojok:
   - Di (0, 0): $Z = 150000(0) + 100000(0) = 0$
   - Di (48, 0): $Z = 150000(48) + 100000(0) = 7.200.000$
     Periksa kendala bagasi: $60(48) + 20(0) = 2880$. Ini melebihi 1440. Jadi, titik (48,0) tidak valid.
   - Di (0, 48): $Z = 150000(0) + 100000(48) = 4.800.000$
     Periksa kendala bagasi: $60(0) + 20(48) = 960$. Ini valid.
   - Di (12, 36): $Z = 150000(12) + 100000(36) = 1.800.000 + 3.600.000 = 5.400.000$
     Periksa kendala kapasitas: $12 + 36 = 48$. Valid.
     Periksa kendala bagasi: $60(12) + 20(36) = 720 + 720 = 1440$. Valid.

Dari evaluasi di atas, pendapatan maksimum tidak tercapai pada titik (48,0) karena melanggar kendala bagasi. Pendapatan terbesar yang valid adalah Rp7.200.000 jika kita bisa menjual semua 48 kursi kelas utama, tapi itu tidak mungkin karena batasan bagasi.

Mari kita tinjau kembali titik-titik pojok yang valid:
- (0, 48): Z = 4.800.000
- (12, 36): Z = 5.400.000

Selain itu, kita perlu mempertimbangkan titik di mana kendala kapasitas penuh ($x+y=48$) berpotongan dengan batas bagasi yang memungkinkan. Batas bagasi adalah $3x+y \leq 72$. Jika kita asumsikan $x$ adalah jumlah kursi kelas utama, maka $y = 48-x$. Substitusikan ke kendala bagasi:
$3x + (48-x) \leq 72$
$2x + 48 \leq 72$
$2x \leq 24$
$x \leq 12$

Ini berarti jumlah maksimum tempat duduk kelas utama yang bisa dijual adalah 12, agar tidak melebihi kapasitas bagasi jika seluruh kursi terisi.

Jika $x=12$, maka $y = 48 - 12 = 36$. Pendapatan = $150000(12) + 100000(36) = 1.800.000 + 3.600.000 = 5.400.000$.

Sekarang, mari kita pertimbangkan jika jumlah kursi kelas utama lebih sedikit dari 12, misalnya $x=11$. Maka $y = 48 - 11 = 37$. Pendapatan = $150000(11) + 100000(37) = 1.650.000 + 3.700.000 = 5.350.000$. Pendapatan lebih kecil.

Jadi, untuk mencapai pendapatan maksimum, jumlah tempat duduk kelas utama haruslah sebanyak 12.