Polinom f(x)=x^3-9x^2+px-27 hanya mempunyai satu akar real,

p=27

Pembahasan

Untuk menentukan nilai p, kita perlu memahami sifat akar-akar polinom. Jika polinom f(x) = x³ - 9x² + px - 27 hanya mempunyai satu akar real, ini berarti dua akar lainnya adalah akar kembar atau akar imajiner konjugat. 

Karena koefisien polinom adalah real, jika ada akar imajiner, mereka harus datang dalam pasangan konjugat. Jika hanya ada satu akar real, maka dua akar lainnya haruslah akar kembar yang real. 

Misalkan akar-akar polinom tersebut adalah $\alpha$, $\beta$, dan $\gamma$. 
Dari teorema Vieta, kita tahu bahwa:
Jumlah akar: $\alpha + \beta + \gamma = -(-9)/1 = 9$
Jumlah hasil kali akar berpasangan: $\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = p/1 = p$
Hasil kali akar: $\alpha\beta\gamma = -(-27)/1 = 27$

Karena hanya ada satu akar real, mari kita asumsikan $\alpha$ adalah akar real tunggal, dan $\beta = \gamma$ adalah akar kembar.

Maka, persamaan menjadi:
$\alpha + 2\beta = 9$ (1)
$\alpha\beta + \alpha\beta + \beta^2 = p \implies 2\alpha\beta + \beta^2 = p$ (2)
$\alpha\beta^2 = 27$ (3)

Dari persamaan (1), kita bisa mendapatkan $\alpha = 9 - 2\beta$.
Substitusikan nilai $\alpha$ ini ke dalam persamaan (3):
$(9 - 2\beta)\beta^2 = 27$
$9\beta^2 - 2\beta^3 = 27$
$2\beta^3 - 9\beta^2 + 27 = 0$

Kita perlu mencari akar dari persamaan kubik ini. Kita bisa mencoba mencari akar rasional menggunakan Teorema Akar Rasional, yang menyatakan bahwa jika ada akar rasional p/q, maka p membagi konstanta (27) dan q membagi koefisien utama (2). Faktor dari 27 adalah ±1, ±3, ±9, ±27. Faktor dari 2 adalah ±1, ±2.

Mari kita coba $\beta = 3$: $2(3)^3 - 9(3)^2 + 27 = 2(27) - 9(9) + 27 = 54 - 81 + 27 = 0$. Jadi, $\beta = 3$ adalah salah satu akar.

Jika $\beta = 3$, maka $\alpha = 9 - 2(3) = 9 - 6 = 3$. Ini berarti $\alpha = \beta = \gamma = 3$. Namun, ini berarti semua akar adalah akar kembar, yang bertentangan dengan pernyataan bahwa hanya ada *satu* akar real tunggal. Pernyataan