Dibcrikan bahwa tan (1/2 theta)=t , nyatakan tan O dan tan

tan θ = 2t / (1 - t²), tan 2θ = (4t - 4t³) / (t⁴ - 6t² + 1). Persamaan tan 2θ = 1 setara dengan t⁴ + 4t³ - 6t² - 4t + 1 = 0.

Pembahasan

Diberikan tan (1/2 θ) = t. Kita diminta untuk menyatakan tan θ dan tan 2θ dalam t, serta menunjukkan bahwa persamaan tan 2θ = 1 dapat ditulis ulang sebagai t⁴ + 4t³ - 6t² - 4t + 1 = 0.

**1. Menyatakan tan θ dalam t:**
Kita gunakan identitas tangen sudut ganda: tan(2α) = (2 tan α) / (1 - tan² α).
Misalkan α = 1/2 θ, maka 2α = θ.
Jadi, tan θ = tan(2 * (1/2 θ)) = (2 tan (1/2 θ)) / (1 - tan² (1/2 θ)).
Karena tan (1/2 θ) = t, maka:
tan θ = (2t) / (1 - t²)

**2. Menyatakan tan 2θ dalam t:**
Sekarang kita gunakan identitas tangen sudut ganda lagi, dengan sudut α = θ.
Jadi, tan 2θ = (2 tan θ) / (1 - tan² θ).
Kita substitusikan ekspresi tan θ yang sudah kita dapatkan:
tan 2θ = (2 * [(2t) / (1 - t²)]) / (1 - [(2t) / (1 - t²)]²)
tan 2θ = [(4t) / (1 - t²)] / [1 - (4t²) / (1 - t²)²]
Untuk menyederhanakan penyebutnya:
1 - (4t²) / (1 - t²)² = [(1 - t²)² - 4t²] / (1 - t²)²
= [1 - 2t² + t⁴ - 4t²] / (1 - t²)²
= [t⁴ - 6t² + 1] / (1 - t²)²

Sekarang substitusikan kembali ke rumus tan 2θ:
tan 2θ = [(4t) / (1 - t²)] / [[t⁴ - 6t² + 1] / (1 - t²)²]
tan 2θ = [(4t) / (1 - t²)] * [(1 - t²)² / (t⁴ - 6t² + 1)]
tan 2θ = [4t * (1 - t²)] / [t⁴ - 6t² + 1]
tan 2θ = (4t - 4t³) / (t⁴ - 6t² + 1)

**3. Menunjukkan tan 2θ = 1 sebagai t⁴ + 4t³ - 6t² - 4t + 1 = 0:**
Kita mulai dari persamaan tan 2θ = 1.
Substitusikan ekspresi tan 2θ yang kita dapatkan:
(4t - 4t³) / (t⁴ - 6t² + 1) = 1
Kalikan kedua sisi dengan penyebut (asumsikan t⁴ - 6t² + 1 ≠ 0):
4t - 4t³ = t⁴ - 6t² + 1
Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan persamaan nol:
0 = t⁴ - 6t² + 1 - 4t + 4t³
Susun ulang berdasarkan pangkat t:
t⁴ + 4t³ - 6t² - 4t + 1 = 0

Ini menunjukkan bahwa persamaan tan 2θ = 1 dapat dinyatakan sebagai t⁴ + 4t³ - 6t² - 4t + 1 = 0.