Proses pengolahan limbah plastik dan logam menjadi perabot

Untuk laba maksimum, proses 15 unit limbah plastik dan 25 unit limbah logam.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menentukan variabel, fungsi tujuan, dan kendala berdasarkan informasi yang diberikan.

Misalkan:
*   x = jumlah limbah plastik yang diproses
*   y = jumlah limbah logam yang diproses

Fungsi Keuntungan (Tujuan):
Misalkan keuntungan dari pengolahan limbah plastik adalah K. Maka keuntungan dari pengolahan limbah logam adalah 1,5K.
Total Keuntungan (Z) = Kx + 1,5Ky
Untuk memaksimalkan keuntungan, kita bisa memfokuskan pada rasio keuntungan, atau mengasumsikan K=1 untuk penyederhanaan.
Z = x + 1,5y

Kendala:
1.  Mesin I:
    *   Plastik: 1 jam/unit
    *   Logam: 2 jam/unit
    *   Total waktu Mesin I <= 70 jam
    *   Kendala: x + 2y <= 70

2.  Mesin II:
    *   Plastik: 1 jam/unit
    *   Logam: 1 jam/unit
    *   Total waktu Mesin II <= 40 jam
    *   Kendala: x + y <= 40

3.  Penyelesaian:
    *   Plastik: 1 jam/unit
    *   Logam: 3 jam/unit
    *   Total waktu Penyelesaian <= 90 jam
    *   Kendala: x + 3y <= 90

4.  Non-negatif:
    *   x >= 0
    *   y >= 0

Kita perlu mencari nilai x dan y yang memenuhi semua kendala ini dan memaksimalkan Z = x + 1,5y.

Titik-titik sudut yang mungkin dari daerah layak:
*   Titik O: (0, 0)
    Z = 0 + 1,5(0) = 0

*   Titik A (Perpotongan x + y = 40 dengan sumbu x, y=0):
    x = 40
    (40, 0)
    Cek kendala lain: 40 + 2(0) = 40 <= 70 (Benar), 40 + 3(0) = 40 <= 90 (Benar)
    Z = 40 + 1,5(0) = 40

*   Titik B (Perpotongan x + y = 40 dengan x + 2y = 70):
    Kurangkan (x + y = 40) dari (x + 2y = 70)
    y = 30
    Substitusi y=30 ke x + y = 40 => x + 30 = 40 => x = 10
    (10, 30)
    Cek kendala lain: 10 + 3(30) = 10 + 90 = 100. Ini TIDAK memenuhi kendala x + 3y <= 90.
    Jadi, titik (10, 30) bukan titik sudut yang valid karena melanggar kendala penyelesaian.

*   Titik C (Perpotongan x + 2y = 70 dengan x + 3y = 90):
    Kurangkan (x + 2y = 70) dari (x + 3y = 90)
    y = 20
    Substitusi y=20 ke x + 2y = 70 => x + 2(20) = 70 => x + 40 = 70 => x = 30
    (30, 20)
    Cek kendala lain: 30 + 20 = 50 <= 40 (SALAH). Ini TIDAK memenuhi kendala Mesin II.
    Jadi, titik (30, 20) bukan titik sudut yang valid karena melanggar kendala Mesin II.

*   Titik D (Perpotongan x + y = 40 dengan x + 3y = 90):
    Kurangkan (x + y = 40) dari (x + 3y = 90)
    2y = 50
    y = 25
    Substitusi y=25 ke x + y = 40 => x + 25 = 40 => x = 15
    (15, 25)
    Cek kendala lain: 15 + 2(25) = 15 + 50 = 65 <= 70 (Benar).
    Z = 15 + 1,5(25) = 15 + 37,5 = 52,5

*   Titik E (Perpotongan x + 2y = 70 dengan sumbu y, x=0):
    2y = 70 => y = 35
    (0, 35)
    Cek kendala lain: 0 + 35 = 35 <= 40 (Benar), 0 + 3(35) = 105. Ini TIDAK memenuhi kendala x + 3y <= 90.
    Jadi, titik (0, 35) bukan titik sudut yang valid karena melanggar kendala penyelesaian.

*   Titik F (Perpotongan x + 3y = 90 dengan sumbu y, x=0):
    3y = 90 => y = 30
    (0, 30)
    Cek kendala lain: 0 + 2(30) = 60 <= 70 (Benar), 0 + 30 = 30 <= 40 (Benar).
    Z = 0 + 1,5(30) = 45

Mari kita periksa kembali titik-titik sudut yang valid dan memenuhi semua kendala:

1.  (0, 0): Z = 0
2.  (40, 0): Z = 40
3.  (15, 25): Z = 52,5
4.  (0, 30): Z = 45

Kita juga perlu memeriksa perpotongan antara x + y = 40 dan x + 3y = 90 yang menghasilkan (15, 25) dan antara x + 2y = 70 dan x + 3y = 90. Perpotongan x + 2y = 70 dan x + 3y = 90 menghasilkan (30, 20), tetapi ini tidak memenuhi kendala x + y <= 40 (karena 30 + 20 = 50).

Perpotongan antara x + 2y = 70 dan x + y = 40 menghasilkan (10, 30), tetapi ini tidak memenuhi kendala x + 3y <= 90 (karena 10 + 3*30 = 100).

Mari kita cari titik potong yang sebenarnya valid:

*   Titik Potong Kendala 1 (x + 2y = 70) dan Kendala 2 (x + y = 40):
    (x + 2y) - (x + y) = 70 - 40 => y = 30.
    Substitusi y=30 ke x + y = 40 => x + 30 = 40 => x = 10.
    Titik (10, 30). Periksa kendala 3: x + 3y = 10 + 3(30) = 10 + 90 = 100. Kendala 3 (x + 3y <= 90) tidak terpenuhi.

*   Titik Potong Kendala 1 (x + 2y = 70) dan Kendala 3 (x + 3y = 90):
    (x + 3y) - (x + 2y) = 90 - 70 => y = 20.
    Substitusi y=20 ke x + 2y = 70 => x + 2(20) = 70 => x + 40 = 70 => x = 30.
    Titik (30, 20). Periksa kendala 2: x + y = 30 + 20 = 50. Kendala 2 (x + y <= 40) tidak terpenuhi.

*   Titik Potong Kendala 2 (x + y = 40) dan Kendala 3 (x + 3y = 90):
    (x + 3y) - (x + y) = 90 - 40 => 2y = 50 => y = 25.
    Substitusi y=25 ke x + y = 40 => x + 25 = 40 => x = 15.
    Titik (15, 25). Periksa kendala 1: x + 2y = 15 + 2(25) = 15 + 50 = 65. Kendala 1 (x + 2y <= 70) terpenuhi.

Titik sudut yang layak adalah:
*   (0, 0), Z = 0
*   (40, 0) (perpotongan x+y=40 dengan y=0, memenuhi semua kendala lain)
    Z = 40 + 1.5(0) = 40
*   (0, 30) (perpotongan x+3y=90 dengan x=0, memenuhi semua kendala lain)
    Z = 0 + 1.5(30) = 45
*   (15, 25) (perpotongan x+y=40 dan x+3y=90, memenuhi semua kendala lain)
    Z = 15 + 1.5(25) = 15 + 37.5 = 52.5

Perlu dicek juga titik potong sumbu x dari kendala x+2y=70, yaitu (70,0). Namun, ini tidak memenuhi x+y<=40.
Perlu dicek juga titik potong sumbu y dari kendala x+y=40, yaitu (0,40). Namun, ini tidak memenuhi x+3y<=90.

Nilai Z maksimum adalah 52,5 yang terjadi pada titik (15, 25).
Ini berarti, agar menghasilkan laba maksimum, sebanyak 15 unit limbah plastik dan 25 unit limbah logam harus diproses.